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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane--Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Antilles--Guyane--Polynésie session juin 2005 }}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Une usine fabrique des téléphones portables en série. Ceux-ci peuvent présenter deux défauts de fabrication : un défaut d'antenne ou un défaut de clavier.
 
On a constaté que 9\:\% des téléphones portables présentent le défaut d'antenne, que 10\:\% des téléphones portables présentent le défaut de clavier, et que 4\:\% des téléphones portables ont les deux défauts.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de téléphones portables&
Présentant le défaut d'antenne&Ne présentant pas le défaut d'antenne&
Total \\ \hline
Présentant le défaut de clavier& & & \\ \hline
Ne présentant pas le défaut de clavier&&  & \\ \hline 
Total&&& 100 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Un client essaye un téléphone portable ; l'appareil qui lui est prêté est pris au hasard dans le stock.

\emph{Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme décimale.} 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p_{1}$ que le téléphone portable présente le défaut d'antenne uniquement.
		\item  Calculer la probabilité $p_{2}$ que le téléphone portable ne présente aucun défaut.
	\end{enumerate} 
\item  À la fin de la chaîne de fabrication des téléphones portables, un contrôleur prélève, successivement et avec remise, 6 téléphones portables.
 
On admet que la probabilité qu'un téléphone portable soit sans défaut est $0,85$.
 
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de téléphones portables sans défaut parmi les 6. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la loi de X est binomiale et préciser ses paramètres.
		\item  Calculer à $10^{-4}$ près les probabilités des évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item exactement 5~téléphones portables contrôlés sont sans défaut ; 
\item au moins deux téléphones portables contrôlés sont sans défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique, dans un repère orthogonal, de la fonction $g$ définie sur I $ = \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 

\[g(x) = 3\cos (3x).\]
 
\emph{Par lecture graphique. répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur I l'équation $g(x) = 0$. 
\item  Déterminer le signe de $g(x)$ sur I.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur I par : 

\[f(x) = \sin (3x).\]

On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal \Oij{} donné dans l'annexe (à rendre avec la copie).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de I. 
\item  En utilisant la partie A, dresser, en le justifiant, le tableau de variations de $f$ sur I. On précisera la valeur de chaque extremum. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant : 
Les valeurs numériques de $f$ seront si nécessaire arrondies à $10^{-1}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rule[-4mm]{0mm}{9mm}$x$& $0$&$\dfrac{\pi}{6}$& $\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{6}$  \\ \hline
$f(x)$&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item  Tracer l'allure de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère \Oij{} de l'annexe à rendre avec la copie. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[h(x) = 4\text{e}^{-2x} - 2 \ln x.\]

 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $h$ en $0$ ;  que peut-on en déduire, graphiquement, pour la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?

Déterminer la limite de $h$ en $+\infty$. 
\item  Déterminer la fonction dérivée de $h$ ;  montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[,~h'(x)$ est strictement négatif et dresser le tableau de variations de $h$ sur $]0~;~+\infty[$. 
\item  Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~3]. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2, partie A : courbe \boldmath $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ \unboldmath}

\vspace{0,75cm}

\psset{xunit=2.5cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,gridwidth=1.25pt,subgridcolor=orange](-1,-4)(3,4)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](0.5236,0){$\frac{\pi}{6}$}
\uput[dr](1.5708,0){$\frac{\pi}{2}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{1.5708}{x 540 mul 3.14159 div cos 3 mul}
\uput[d](2.5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-3.5)(2.5,3.5)

\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2, partie B : repère pour tracer l'allure de la courbe \boldmath $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ \unboldmath}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.5cm,yunit=2.cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)

\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,gridwidth=1.25pt,subgridcolor=orange](-1,-2)(3,2)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5236,0){$\frac{\pi}{6}$} 
\uput[d](0.7854,0){$\frac{\pi}{4}$}
\uput[d](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[d](1.5708,0){$\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](2.5,0){$x$} \uput[l](0,1.5){$y$}
\psdots[dotstyle=|](0.5236,0)(0.7854,0)(1.0472,0)(1.5708,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=3]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}