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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Antilles--Guyane session juin 2007}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[- \pi~;~\pi]$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Par lecture graphique}, répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée:

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle paire ou impaire sur $[- \pi~;~\pi]$ ? \item  Résoudre sur $[- \pi~;~\pi]$ l'équation: $f(x) = 0$. 
\item  Résoudre sur $[- \pi~;~\pi]$ l'inéquation : $f(x) > 0$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Étude théorique}

On admet que $f$ est définie sur $[- \pi~;~\pi]$ par :
 
\[f(x) = 2\sin x - x.\]
  
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$. 
\item  Résoudre sur $[0~;~\pi]$ l'équation : $f'(x) = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le cercle trigonométrique, résoudre sur $[0~;~\pi]$ l'inéquation : $\cos x \geqslant \dfrac{1}{2}$. 
		\item Déduire du a. la résolution sur $[0~;~\pi]$ de l'inéquation : $f'(x) > 0$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~\pi]$. On y indiquera les valeurs exactes de $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $f(\pi)$.
	\end{enumerate} 
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $\left[\dfrac{\pi}{3}~;~\pi\right]$ une unique solution $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip
 
Un oiseleur élève douze perroquets, sept jaunes et cinq verts. Quatre perroquets dont un vert sont parleurs.
 
L'oiseleur prend au filet, simultanément et au hasard, trois perroquets parmi les douze pour les exposer.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'il y a $220$~prises possibles. 
\item  Déterminer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A :  \og  les trois perroquets sont de la même couleur  \fg. 
\item[] B :  \og  un perroquet exactement est parleur \fg. 
\item[] C :  \og  au moins un perroquet est parleur  \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item  Montrer que la probabilité de l'évènement A $~\cap~$ B est $\dfrac{6}{55}$. 
\item  Sachant que les trois perroquets attrapés sont de la même couleur, déterminer la probabilité qu'exactement l'un d'entre eux soit parleur.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par : 

\[g(x) = 2x(\ln x - 1).\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $g$ en $+\infty$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $g'(x) = 2\ln x$. 
		\item Résoudre sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ l'équation : $g'(x) = 0$. 
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. On y indiquera la valeur exacte de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et de $g(1)$.
	\end{enumerate} 
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
 
\emph{Les valeurs numériques de $g$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,5 	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 \\ \hline
$g(x)$	&		&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Construire la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $G$ définie sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par 
		
\[G(x) = x^2 \left(\ln x- \dfrac{3}{2}\right)\]
		
est une primitive de $g$ sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. 
		\item  Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 3$ et $x = 5$. On donnera la valeur exacte de cette aire en unités d'aire puis une valeur approchée en cm$^2$, au mm$^2$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 

\textbf{DOCUMENT DE L'EXERCICE 1}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=1.25pt](-4,-4)(4,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-3.14159}{3.14159}{x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul x sub}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](-3.14159,0){$- \pi$}
\uput[u](3.14159,0){$\pi$}\uput[ur](-2.5,1.5){$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$}\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,3.9){$y$}
\psline[linestyle=dashed](-3.14159,0)(-3.14159,3.14159)
\psline[linestyle=dashed](3.14159,0)(3.14159,-3.14159) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}