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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat    septembre 2004}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P.A. }}
\rfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S.T.A.E.-S.T.P.A.~\decofourright \\ Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion\\
    septembre 2004}} 
\vspace{0,5cm}    
    (Coefficient : 2 - Durée : 2 heures)
    
L'utilisation d'une calculatrice et du formulaire est autorisée

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une région montagnarde, les bovins appartiennent  deux races distinctes : l'Abondance et la Brune des Alpes.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 56\,\% des bovins sont de race Abondance ; 
\item[$\bullet~$] 10\,\% des bovins de race Abondance et 15\,\% des bovins de la race Brune des Alpes sont malades.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit un bovin au hasard. On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A l'évènement : \og le bovin choisi est de race Abondance \fg. 
\item[] B l'évènement : \og le bovin choisi est de race Brune des Alpes \fg. 
\item[] M l'évènement : \og le bovin choisi est malade \fg{} ; $\overline{\text{M}}$ l'évènement contraire de M.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs exactes des probabilités $p$(A), $p$(B) et $p_{\text{A}}(\text{M})$ (notée également $p(\text{M} / \text{A})$ ). 
\item  Décrire cette situation au moyen d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur chaque branche. 
\item  Calculer la probabilité de l'évènement: "le bovin choisi est malade et de race Abondance" . 
\item  Calculer p(M).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

On appelle X la variable aléatoire égale à la masse, exprimée en kg, d'un veau de race Abondance à la naissance.
 
Une étude statistique préalable a montré que la loi de probabilité de X est la loi normale de moyenne $\mu = 40$~kg et d'écart-type $\sigma = 10$~kg.
 
\medskip

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la loi normale centrée réduite. On donnera les résultats numériques sous forme décimale arrondis à $10^{-4}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un veau choisi au hasard pèse moins de 25~kg. 
\item  Calculer la probabilité qu'un veau choisi au hasard ait une masse comprise entre 35~kg et 45~kg. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 6 points}

\medskip
 
La courbe (Cg) donnée dans le document est la représentation graphique dans un repère orthogonal de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{x} + 1}.\]
 

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée : 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre sur $[-3~;~2]$ l'équation (E) : $g(x) = \dfrac{4}{3}$.  
		\item  Résoudre sur $[-3~;~2]$ l'inéquation (I) : $g(x) > \dfrac{4}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation (E) peut s'écrire : $3\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} - 4 = 0$. 
		\item Développer : $\left(\text{e}^{x} - 2)(3\text{e}^{x} + 2)$. 
		\item À l'aide de a. et b., résoudre par le calcul l'équation (E) et comparer avec la valeur trouvée graphiquement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 6 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~2\pi]$ par :

\[f(x) = 1 - 2\sin x\]

et $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra comme unités graphiques : 8~cm pour $\pi$ en abscisses et 3~cm pour 1~unité en ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de $[0~;~2\pi]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en l'illustrant très simplement à l'aide du cercle trigonométrique, le signe de $\cos x$ sur $[0~;~2\pi]$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~2\pi]$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~2\pi]$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
 
\emph{Les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$ &0&$\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{2}$&$\dfrac{3\pi}{4}$&$\pi$&$\dfrac{5\pi}{4}$&$\dfrac{3\pi}{2}$&$\dfrac{7\pi}{4}$&$2\pi$\\ \hline 
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère orthogonal \Oij. 
\item Résoudre par une méthode au choix (cercle trigonométrique, lecture graphique sur $(\mathcal{C})$, ... ) l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT de l'exercice 2}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.25pt](-3,-2)(3,5)
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}\uput[r](1.6,4.2){$(\mathcal{C}_{g})$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{1.77}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 1 add div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(3,5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}