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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie ~\decofourright\\ et de l'Environnement\\Métropole session juin 2000}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Dans un troupeau, un berger possède des brebis de deux races A et B.

La race A est représentée dans la proportion de 40\,\%.

Une étude sur la fécondité des races A et B a donné les résultats suivants :

2,5\,\% des brebis A sont stériles, 5\,\% des brebis B sont stériles.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On choisit une brebis au hasard. Montrer que la probabilité pour qu'elle soit stérile est $0,04$.
\item  Le berger prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, 12 brebis dans le troupeau.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de brebis stériles sur les 12.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 12$ et $p = 0,04$.
		
\emph{Les résultats suivants seront donnés à $10^{-4}$ près.}
		\item  Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, 3 exactement soient stériles ?
		\item  Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, aucune ne soit stérile ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Dans un laboratoire pharmaceutique, un machine met un médicament en sachets. Les masses des sachets se répartissent suivant la loi normale de moyenne $m = 250$~mg et d'écart-type $\sigma = 6$~mg.

\emph{On pourra utiliser une table de la loi normale centrée réduite pour répondre aux questions suivantes :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité pour que la masse d'un sachet soit comprise entre 244~mg et 255~mg ?
\item  Combien, sur un lot de \nombre{1000}~sachets, y aura-t-il approximativement de sachets dont la masse est inférieure
à $242$~mg ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous, représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~2]$ dans un repère orthogonal
\Oij, unités graphiques : 1~cm en abscisses et 0,8~cm en ordonnées.

Aux points A et B, les tangentes à la courbe sont horizontales.

Au point E d'abscisse $0$, la tangente à $\mathcal{C}$ est la droite (EF).

\emph{En expliquant votre démarche, vous répondrez aux questions suivantes}

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0),~f^{\prime}(1),~f^{\prime}(-3),~f^{\prime}(0)$.
\item   En déduire une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point E.
\item   Déterminer graphiquement la limite de $f$ en $- \infty$.
\item   Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$.
\item   Résoudre graphiquement l'inéquation $f^{\prime}(x) \geqslant  0$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,griddots=10](-6,-6)(6,6)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-6}{1.96}{3 x dup mul  sub 2.71828 x exp mul}
\psline{<->}(-4.5,-0.299)(-1.5,-0.299)\uput[d](-3,-0.299){B}
\psline{<->}(0,5.437)(2,5.437)\uput[ur](1,5.437){A}
\psline(-1,0)(1,6)\uput[l](0,3){E} \uput[d](-1,0){F}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par :

\[f(x) = \left(3 - x^2\right)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur $]- \infty~;~2]$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer, par le calcul, les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
\item  Soit $F$ la fonction définie sur $]- \infty~;~2]$ par : 
	
	\[F(x) = \left(- x^2 + 2x + 1\right)\text{e}^x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $]- \infty~;~2]$.
		\item  Soit $\mathcal{D}$ le domaine plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations
respectives $x = -1$ et $x = 1$.
		
Calculer la valeur exacte, en unités d'aires l'aire de ce domaine $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}