\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-tree,pst-text,pst-eucl,pstricks-add}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\def \e{\text{e}}
\newcommand{\diff}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}}
\newcommand{\dx}{\diff x}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole}\hspace{0.3cm}correction}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et de l'Environnement~\decofourright \\Métropole session juin 2000\hspace{3mm} Correction}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Dans un troupeau, un berger possède des brebis de deux races A et B.

La race A est représentée dans la proportion de 40\:\%.

Une étude sur la fécondité des races A et B a donné les résultats suivants :

 2,5\:\% des brebis A sont stériles, 5\:\% des
brebis B sont stériles.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On choisit une brebis au hasard. 
Dressons l'arbre de probabilités  correspondant à la situation.

Notons A l'évènement : \og la brebis est de race A\fg{} et S l'évènement : \og la brebis est stérile\fg.

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,linecolor=blue,treemode=R}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{\np{0.4}}}
	{\TR{S}\taput{\np{0.025}}
	\TR{$\overline{\text{S}}$ }\tbput{\np{0.975}}
	}
\pstree{\TR{B}\tbput{\np{0.6}}}
	{\TR{S}\taput{\np{0.05}}
	\TR{$\overline{\text{S}}$} \tbput{\np{0.95}}
	}
}
\end{center}
Calculons  la probabilité  qu'elle soit stérile.
\[p(S)= P(A)\times p_{A}(S)+p(B)\times p_{B}(S)=\np{0.4}\times\np{0.025}+\np{0.6}\times\np{0.05}=\np{0.04}.\]
Nous obtenons bien $0,04$.
\item  Le berger prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, 12 brebis dans le troupeau.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de brebis stériles sur les 12.
	\begin{enumerate}
		\item La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale lorsqu'il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 
		
Les épreuves sont indépendantes entre elles et n'ont que deux issues, \og La brebis est stérile\fg{} avec une probabilité égale à \np{0.04}, \og la brebis n'est pas stérile\fg{}  avec une probabilité $q$ égale à \np{0.96}.		
Il y a répétition de 12 examens. Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (12;\ \np{0.04})

 par conséquent $p(X=k)=\binom{12}{k}(\np{0.04})^k(\np{0.96})^{12-k}$.
 
 %\emph{Les résultats suivants seront données à $10^{-4}$ près.}
		\item  La probabilité pour que, sur ces 12 brebis, 3 exactement soient stériles, est \[p(X=3)=\binom{12}{3}(\np{0,04})^3(\np{0,96})^{9}\approx \np{0,0098}.\]
		\item  La probabilité pour que, sur ces 12 brebis, aucune ne soit stérile, est \[p(X=0)=\np{0,96}^{12}=\np{0,6127}\]
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Dans un laboratoire pharmaceutique, un machine met un médicament en sachets. Les masses des sachets se répartissent suivant la loi normale de moyenne $m = 250$~mg et d'écart-type $\sigma = 6$~mg.

\emph{On pourra utiliser une table de la loi normale centrée réduite pour répondre aux questions suivantes :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Notons $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur la masse d'un paquet pris au hasard. 

D'après l'énoncé, la loi de probabilité de cette variable aléatoire $X$ est la loi normale de moyenne 250 et d'écart-type 6. $X\hookrightarrow \mathcal{N}(250,~6)$

Pour calculer les probabilités demandées,  utilisons le théorème suivant :
Dire que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la loi normale $\mathcal{N}(250 ~;~ 6)$, est équivalent à dire que la loi de probabilité de la variable aléatoire $U$ définie par $\dfrac{X-250}{6}$ est la loi normale centrée et réduite.

La probabilité qu'un sachet pris au hasard ait une masse comprise entre 244 et 255 est notée $p(244 \leqslant X \leqslant 255)$.
$p(244 \leqslant X \leqslant 255)$ est équivalente à $p\left(-1\leqslant U \leqslant \dfrac{5}{6}\right)$

$p\left(-1\leqslant U \leqslant \dfrac{5}{6}\right)= p(U\leqslant \np{0.83})-p (U\geqslant -1)=p(U\leqslant \np{0.83})-\left(1-p(U \leqslant 1)\right)$

Dans la table de la loi normale centrée réduite, nous pouvons lire que $p(U \leqslant 1) = \np{0,8413}$ et $p(U \leqslant \np{0,83})=\np{0,7967})$

donc $p(244 \leqslant X \leqslant 255)=\np{0.7967}-(1-\np{0.8413})=\np{0.638}$. 

 la probabilité pour que la masse d'un sachet soit comprise entre 244~mg et 255~mg est \np{0,638}.
\item  Déterminons combien, sur un lot de \nombre{1000}~sachets, il y aura approximativement de sachets dont la masse est inférieure à $242$~mg. 
 Calculons $p(X\leqslant 242)$. 
 
$p( X \leqslant 242)$ est équivalente à $p\left( U \leqslant -\dfrac{4}{3}\right)$ ou encore à $1-p(U\leqslant \np{1,33})$.

 Dans la table, nous pouvons lire $p(U \leqslant \np{1,33})=\np{0,9082}$.

$p( X \leqslant 242)=1-\np{0,9082}=\np{0,0918}$

 Pour un lot de \np{1000} sachets, 92 est un nombre approximatif de sachets ayant une masse inférieure  à $242$~mg .
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous, représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~2]$ dans un repère orthogonal
\Oij, unités graphiques : 1~cm en abscisses et 0,8~cm en ordonnées.

Aux points A et B, les tangentes à la courbe sont horizontales.

Au point E d'abscisse $0$, la tangente à $\mathcal{C}$ est la droite (EF).

%\emph{En expliquant votre démarche, vous répondrez aux questions suivantes}

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, 
\begin{itemize}
\item[] $f(0) = 3$, nous lisons l'ordonnée du point E.
\item[]$f'(1) = 0$ puisqu'en A, la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\item[]$f '(- 3)=0$ puisqu'en B, la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\item[]$f'(0) = 3$. Calculons le coefficient directeur de la droite (EF) : $\dfrac{y_{\text{F}}-y_{\text{E}}}{x_{\text{F}}-x_{\text{E}}}=\dfrac{0-3}{-1-0}=3$
\end{itemize}
\item   Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point E est $y = 3x+3$. (EF) est la tangente en E à $\mathcal{C}_f$. 
\item   Déterminons graphiquement la limite de $f$ en $- \infty$.

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=0$ car la courbe est asymptote à l'axe des abscisses lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
\item   Résolvons graphiquement l'équation $f(x) = 0$.

 La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points M $(\alpha~;~0)$ et N $(\beta~;~0)$ avec $\alpha \approx -\np{1.7}$ et $\beta \approx \np{1.7}$, $\mathcal{S}=\{\alpha~;~\beta\}$.
\item   Résolvons graphiquement l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$.

 Si $f$ est croissante sur I, alors $f'\geqslant 0$ sur cet intervalle, d'où $\mathcal{S}=[-3~;~1]$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,griddots=10](-6,-6)(6,6)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-6}{1.96}{3 x dup mul  sub 2.71828 x exp mul}
\psline{<->}(-4.5,-0.299)(-1.5,-0.299)\uput[d](-3,-0.299){B}
\psline{<->}(0,5.437)(2,5.437)\uput[ur](1,5.437){A}
\psline(-1,0)(1,6)\uput[l](0,3){E} \uput[d](-1,0){F}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]{
\psline(-1,0)(-1,0.73576)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1}{1}{3 x dup mul  sub 2.71828 x exp mul}
\psline (1,5,4366)(1,0)
}
\rput(0.5,2){\textcolor{red}{{\large $\mathcal{D}$}}}
\psdots[dotstyle=BoldMul,dotscale=2](-1.732,0)\rput(-1.732,0.3){M} \psdots[dotstyle=BoldMul,dotscale=2](1.732,0)\rput(1.832,0.3){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par :
\[f(x) = \left(3 - x^2\right)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons $f'(x)$.

 $f^\prime(x)= (- 2x)\e^x+ \left(3 - x^2\right)\e^x= \left(-x^2-2x+3\right)\e^x$
 
 Étudions son signe sur $]- \infty~;~2]$. 

Pour tout $x\in \R,\quad \e^x>0$ par conséquent $f^\prime(x)$ est du signe de $- x^2 - 2x+3$.
 Ceci est un trinôme du second degré, calculons $\Delta$. $\Delta=(-2)^2-4(-1)(3)=16$
 
 $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines: $x_1=\dfrac{-(-2)+\sqrt{16}}{2(-1)}=-3$ ou $x_2=\dfrac{-2}{-2}=1$.
 
 Le trinôme est du signe de $a$ ici $a=-1$ pour $x\in]-\infty~;~x_1[\cup ]x_2~;~+\infty[$ et du signe de $-a$ pour $x\in]x_1~;~x_2[$. Par conséquent nous avons 
 
 \begin{center}
 \begin{pspicture}(8,1.5)
  \psframe (8,1.5)
  \psline(0,1)(8,1)\psline(1,0)(1,1.5)
  \rput(0.5,1.25){$x$}\rput(1.3,1.25){$-\infty$}\rput(7.75,1.25){$2$}\rput(3.25,1.25){$-3$}\rput(5.7,1.25){$1$}
  \rput(0.5,0.5){$f^\prime(x)$}\rput(2.15,0.5){$-$}\rput(3.25,0.5){$0$}\rput(4.25,0.5){$+$}\rput(5.7,0.55){$0$}\rput(6.75,0.5){$-$}
 \end{pspicture}
 \end{center}
		\item  Dressons le tableau de variations de $f$.
		
		Si pour tout $x\in I \,f'(x)<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
		
 $f^\prime (x)<0$ pour $x\in ]-\infty~;~-3[$ ou pour $x\in ]1~;2]$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles. 
 
		Si pour tout $x\in I,\: f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

 $f^\prime(x)>0 \ \text{ pour } x\in]-3~;~1[$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.		

		 Dressons le tableau de variations de $f$ sur $\mathopen{]}-\infty~;~2 \mathclose{]}$ . 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,2.5)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,2.5) \psline(0,2)(8,2) 
\rput(0.5,2.25){$x$}\rput(1.3,2.25){$-\infty$}\rput(7.75,2.25){$2$}\rput(3.25,2.25){$-3$}\rput(5.7,2.25){$1$}
  \rput(0.5,1.75){$f^\prime(x)$}\rput(2.15,1.75){$-$}\rput(3.3,1.75){$0$}\rput(4.25,1.75){$+$}\rput(5.7,1.75){$0$}\rput(6.75,1.75){$-$}
  \psline(0,1.55)(8,1.55)
\rput(0.5,1.25){\scriptsize Variations}
\rput(0.4,0.75){{\scriptsize de} $f$}
\rput(1.37,1.35){$0$}\rput(5.7,1.35){$2\e$}
\rput(3.3,0.25){$-6\e^{-3}$}\rput(7.7,0.25){$-\e^2 $}
\psline{->}(1.5,1.3)(2.8,0.25)\psline{->}(3.85,0.25)(5.5,1.3)
\psline{->}(6,1.25)(7.3,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item  Résolvons l'équation $f(x) = 0$. 

\[(3-x^2)\e^x=0\]
pour tout $x \in \R,\  \e^x>0,$ nous sommes amenés à résoudre
\[3-x^2=0\]
\[(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)=0 \]
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit, d'où

\begin{tabular}{lcr}
$\sqrt{3}-x=0$ &$\quad \text{ou } \quad $&$\sqrt{3}+x=0$\\
$x=\sqrt{3}$&$\quad \text{ou } \quad  $& $x =-\sqrt{3}$\\
\end{tabular}
 L'ensemble des solutions de l'équation est $ \mathcal{S}=\left\{-\sqrt{3}~;~\sqrt{3}\right\}$.
\item  Soit F la fonction définie sur $]- \infty~;~2]$ par : 
	
	\[F(x) = \left(- x^2 + 2x + 1\right)\text{e}^x.\]
	\begin{enumerate}
		\item   $F$ est une primitive de $f$ sur $]- \infty~;~2]$ si $F^\prime(x)=f(x)$.
		
$F^\prime(x)=(-2x+2)\e^x+(-x^2+2x+1)\e^x=(-x^2+3)\e^x=f(x)$. F est une primitive de $f$ sur  $]- \infty~;~2]$.
		\item  Soit $\mathcal{D}$ le domaine plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations
respectives $x = -1$ et $x = 1$.
		
$f$ étant strictement positive sur [-1~;~1], en unités d'aires l'aire de ce domaine $\mathcal{D}$ est $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \dx$.
\[\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \dx=\Big[F(x)\Big]_{-1}^{1}= F(1)-F(-1)=\left(-(1)^2+2\times 1+1\right)\e-\left(\left(-(-1)^2+2\times (-1)+1\right)\e^{-1}\right)=2\e+2\e^{-1}\]
L'aire de $\mathcal{D}$ est $2\e+2\e^{-1}$ unités d'aire. L'unité d'aire vaut \np{0.8}~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}