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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Métropole session juin 2001}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Une urne contient 8~boules blanches et 5~boules rouges indiscernables au toucher.

L'épreuve consiste à tirer au hasard, simultanément, 3~boules dans l'urne.

Soit les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og tirer deux boules blanches exactement parmi les trois boules tirées \fg
\item[] B : \og tirer exactement deux boules de la même couleur parmi les trois boules tirés \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le nombre de tirages possibles ?

\emph{Les probabilités suivantes seront exprimées sous forme décimale, arrondies à $10^{-2}$ près.}

\item  Calculer Prob(A).
\item  Calculer Prob(B).
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 Le tri sélectif des ordures \hfill }

\medskip

Une commune a mis en place le tri sélectif des ordures. Le ramassage s'effectue de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  lundi, ramassage du sac bleu ;
\item  mercredi, ramassage du sac noir ;
\item  vendredi, ramassage du sac jaune.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Monsieur T est un homme distrait : il dépose chaque jour de ramassage, de façon aléatoire, un des trois sacs de couleur, indépendamment de son dépôt précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que monsieur T, un jour de ramassage donné, dépose le bon sac ?
\item  On s'intéresse au nombre de fois où Monsieur T a déposé le bon sac pendant une période de quatre semaines consécutives.

Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de fois où il a déposé le bon sac.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la loi de $X$ est la loi binomiale de paramètre $12$ et $\dfrac{1}{3}$.

\emph{Les probabilités suivantes seront exprimées sous forme décimale, arrondies à $10^{-4}$ près.}
		
		\item  Déterminer la probabilité que monsieur T n'ait jamais déposé le bon sac pendant cette période de quatre semaines consécutives.
		\item  Déterminer la probabilité que Monsieur T ait déposé au moins une fois le bon sac pendant cette période de quatre semaines consécutives.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

Une couverture matelassée est composée de carrés de 10~cm sur 10~cm.

Chaque carré comporte trois zones A$_{1}$, A$_{2}$, A$_{3}$
de couleurs différentes. La figure donnée en annexe représente un de ces carrés, où la zone A$_{3}$ est la partie du carré
située au dessus de la courbe $\mathcal{C}$.

Un des objectifs de cet exercice est de représenter les zones A$_{1}$ et A$_{2}$.
Les questions 1, 2, 3 sont indépendantes (sauf 3. b.).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les zones A$_{1}$ et A$_{2}$ sont séparées par la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~10]$ par :

\[g(x) =  (10 - x )\text{e}^{-\frac{x}{2}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~10],~ g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2}(x - 12)\text{e}^{-\frac{x}{2}}$.
		\item Montrer que $g'(x)$ est du signe de $(x - 12)$.
		\item En déduire le signe de $g^{\prime}(x)$ et le sens de variation de $g$ sur $[0~;~10]$.
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x$& 0& 0,5& 1& 2& 3& 4& 5& 7& 10\\ \hline
$g(x)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Les valeurs numériques de $g$ seront calculées à $10^{-2}$ près.}

\medskip

		\item Construire la courbe $\Gamma$ dans le repère $x$O$y$ de l'annexe.
	\end{enumerate}
\item A$_{1}$ est le domaine plan limité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. A$_{2}$ est le domaine plan limité par la courbe $\Gamma$ et la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $G$ définie sur $[0~;~10]$ par 
		
		\[G(x) =  - 2(8 - x)\text{e}^{\frac{x}{2}}.\]
		
Justifier que $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~10]$.
		\item Hachurer la zone A$_{1}$ et calculer la valeur exacte de l'aire de A$_{1}$ en cm$^2.$
	\end{enumerate}		
\item Les zones A$_{2}$ et A$_{3}$ sont séparées par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0~;~10]$ par :

\[f(x) = \dfrac{x^3 }{200} - \dfrac{3x^2 }{20} + 10.\]
	
On note J$  = \displaystyle\int_{0}^{10}  f(x)\:\text{d}x.$
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer J.
		\item  En déduire l'aire de A$_{3}$ puis l'aire de A$_{2}$. Ces résultats seront donnés en cm$^2$, arrondis à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(12,11)
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\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}