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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\et de l'Environnement \\Métropole session juin 2002}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

On a réalisé une étude statistique sur les candidats se présentant pour la première fois au permis de conduire à Paris en 1999. Cette étude montre que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  60\:\% des candidats obtiennent le permis de conduire dès la première tentative.
\item   30\:\% des candidats ont pratiqué la conduite accompagnée.
\item   80\:\% des candidats ayant pratiqué la conduite accompagnée obtiennent ce permis dès la première tentative.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On choisit un candidat au hasard. On note $A$ et $T$ les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og Le candidat choisi a pratiqué la conduite accompagnée \fg{};
\item[] T : \og Le candidat choisit a obtenu ce permis à la première tentative \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\overline{A}$ est l'évènement contraire de l'évènement A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de l'énoncé, donner les probabilités :

$p(T),~ p(A),~ p_{A}(T)$ (notée également $p(T/A)$).
\item  Calculer $p\left(\overline{A}\right),~ p(A  \cap T)$.
\item  Montre que $p\left(\overline{A} \cap T\right) = 0,36$.
\item  Calculer la probabilité qu'un candidat donné n'ait pas pratiqué la conduite accompagnée, sachant qu'il a obtenu ce permis à la première tentative.
\item  Soit $X$ la variable aléatoire traduisant l'acuité visuelle binoculaire des candidats au permis de conduire.

On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $0,6$ et d'écart-type $0,2$.

\emph{On pourra utiliser une table de la loi normale centré réduite pour répondre à la question et on arrondira le résultat numérique à $10^{-2}$ près.}

Quelle est la probabilité que l'acuité visuelle binoculaire soit inférieure à $0,5$ ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

\textbf{Partie A : détermination d'une fonction}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~3]$.

La droite T, tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$, est parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \emph{À l'aide du graphique, et en expliquant la démarche adoptée, répondre aux questions suivantes :}

	\begin{enumerate}
		\item  Donner $f(1)$ et $f'(1)$.
		\item  Déterminer le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~3]$.
		\item  Que peut-on dire de l'axe des ordonnées pour la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ? Donner la limite en $0$ de $f$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~3]$ par :
	
	\[f(x) = a\left(x^2 + x\right) + b(1 + \ln x) ,\]
	
$a$ et $b$ étant des nombres réels que l'on se propose de déterminer.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~3],~ f'(x) = \dfrac{
2ax^2  + ax  + b}{x}$.
		\item  À l'aide des questions précédentes, calculer les réels $a$ et $b$ . En déduire l'expression de $f(x)$ pour
tout $x$ de $]0~;~3]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction obtenue}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0~;~3]$ par : 

\[f(x) = x^2 + x - 3(1 + \ln x).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite en $0$ de $f$ (vérifier avec le A 1. c.).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~3],~f'(x)$ est du signe de $(x - 1)(2x + 3)$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~3]$. (On indiquera la valeur exacte de $f(3)$).
 	\end{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction définie sur $]0~;~3]$ par : 
	
	\[G( x) = x\ln x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $G'(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~3]$.
		\item  En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~3]$.
		\item  Soit $\mathcal{D}$ le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations
$x = 2$ et $x = 3$.
		
Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,griddots=10,subgridcolor=orange](-2,-2)(5,6)
\psline{<->}(0,-1)(2,-1)\uput[r](2,-1){(T)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](5,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.0506}{3.05}{x dup mul x add x ln 1 add 3 mul sub} \uput[r](3,5.4){$\mathcal{C}_{f}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,6)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}