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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat    juin 2003}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P.A. }}
\rfoot{\small{Métropole}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S.T.A.E.-S.T.P.A.~\decofourright\\ Métropole    juin 2003\\(Coefficient : 2 - Durée : 2 heures)}} 
}    
    
    
L'utilisation d'une calculatrice et du formulaire est autorisée

\vspace{1cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill }

\medskip

Un groupe d'amis est constitué de 5~garçons et 4~filles, tous conducteurs.

Ils tirent au sort les noms de ceux qui devront rester sobres tout au long de la soirée et servir de conducteurs.

Chacun écrit son nom sur un carton qui est glissé dans une boîte.

On considère l'épreuve qui consiste à extraire au hasard, simultanément, deux cartons de la boîte.

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\emph{Dans cette partie, les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

On note G l'évènement : \og les deux noms extraits sont des noms de garçons \fg.

On note F l'évènement : \og les deux noms extraits sont des noms de filles \fg.

On note S l'événement : \og les deux noms extraits correspondent à des sexes différents \fg.

\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilités $p$(G), $p$(F).
\item  En déduire la probabilité que les deux conducteurs tirés au sort soient de même sexe.
\item  Montrer que $p(\text{S}) = \dfrac{5}{9}$.
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Au cours des 8~semaines de vacances d'été, les 9~amis sortent ensemble tous les samedis soirs. On répète donc chaque samedi l'épreuve décrite au début de l'exercice. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de S au cours des ces huit épreuves.
 
\emph{Dans cette partie, les résultats des probabilités seront exprimés sous forme décimale, arrondis à $10^{-4}$ près.}
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 8$ et $p = \dfrac{5}{9}$.
\item  Calculer la probabilité d'obtenir exactement une réalisation de S au cours de ces huit épreuves.
\item  Calculer la probabilité d'obtenir au plus une réalisation de S au cours de ces huit épreuves
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~ ;~2]$ par :

\[f(x) = \text{e}^x + 2\ln (x + 1),\]

et $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthogonal \Oij, d'unités graphiques : 4~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f$ au voisinage de $-1$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]-1~ ;~2]$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de $]-1~ ;~2],~f'(x) > 0$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]-1~ ;~2]$. On indiquera la valeur exacte de $f(2)$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
		
Les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x$		&$-0,8$	&$-0,7$	&$-0,5$	& $-0,2$&0	&0,5&1	&1,5&2 \\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère orthogonal \Oij.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans 
		
$]-0,5~;~-0,2]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction $F$ définie sur $]-1~ ;~2]$ par :
	
	\[F(x) = \text{e}^x + 2(x + 1) \ln (x + 1) - 2x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]-1~ ;~2]$.
		\item  Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe
des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1^$.
		
Donner ensuite une valeur arrondie à $10^{-2}$ près, en cm$^2$, de cette aire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}