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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat    septembre 2003}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P.A. }}
\rfoot{\small{Métropole}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S.T.A.E.-S.T.P.A.~\decofourright \\ Métropole    septembre 2003\\
   }\\ (Coefficient : 2 - Durée : 2 heures)} 
  
L'utilisation d'une calculatrice et du formulaire est autorisée

\vspace{1cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill }

\medskip

Dans une coopérative agricole, on effectue des tests sur une production de pommes. Toutes les pommes passent deux tests : un test de calibrage et un test de qualité.

 90\:\% des pommes passent avec succès le test de calibrage et
parmi celles-ci, 85\:\% passent également avec succès le test de qualité.

Parmi les pommes non acceptées au test de calibrage, 40\:\% passent le test de qualité avec succès.

\medskip

Soit les événements :
\setlength\parindent{5mm}

C : la pomme passe avec succès le test de calibrage ;

Q : la pomme passe avec succès le test de qualité.
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Décrire cette situation au moyen d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur chaque branche.
\item  Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  la pomme ne passe pas le test de calibrage avec succès ;
		\item  la pomme passe avec succès les deux tests ;
		\item  la pomme n'est pas acceptée au test de calibrage et est acceptée au test de qualité.
	\end{enumerate}
\item  En déduire $p$(Q) puis $p$(C) (notée aussi $p(\text{C}/\text{Q}))$ arrondie à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités
graphiques 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]- 1~;~+ \infty[$.

La droite (T) est tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point A d'abscisse 0. Les droites (D) et ($\Delta$) sont asymptotes à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée :
	\begin{enumerate}
		\item  Donner $f(0)$ et $f'(0)$.
		\item  Donner la limite en $+\infty$ de $f$.
		\item  Déterminer le signe de $f(x)$ pour tout $x$ de $]- 1~;~+ \infty[$.
		\item  Soit $F$ une primitive de $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$, déduire de ce qui précède les variations de $F$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  a  + \dfrac{b}{x + 1},\]

$a$ et $b$ étant des nombres réels que l'on se propose de déterminer.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f'(x) = \dfrac{-b}{(x + 1)^2}$.
		\item  Calculer, à l'aide de la question 1. a., les réels $a$ et $b$.
		\item  En déduire l'expression de $f(x)$ pour tout $x$ de $]- 1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-5)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-5)(8,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8](-1,-5)(8,6)
\psplot{-1}{4}{x 1 add} \uput[d](4,5){(T)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.pt,plotpoints=5000]{-0.857}{8}{2 1 x 1 add div sub}
\psline[linewidth=1.25pt](-1,-5)(-1,6) \uput[r](-1,3.5){(D)}
\psline[linewidth=1.25pt](-1,2)(8,2) \uput[u](7.5,2){($\Delta$)}
\uput[r](-0.8,-4.5){$\left(\mathcal{C}_{f}\right)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-2~;~\dfrac{3}{2}\right[$
par : 

\[g(x) = 3 - 4\text{e}^x + \text{e}^{2x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$.
		\item  Montrer que pour tout x de $\left]-2~;~\dfrac{3}{2}\right[$, $g'(x)$ est du singe de $\left(\text{e}^x - 2\right)$.
		\item  En déduire le signe de $g'(x)$ sur
$\left]-2~;~\dfrac{3}{2}\right[$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $g$ sur
$\left]-2~;~\dfrac{3}{2}\right[$.

On indiquera la valeur exacte de $f(\ln 2)$ et les valeurs
exactes, puis des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près, pour $f(-2)$ et
$f\left(\dfrac{3}{2}\right).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $G$ de $g$ sur
$\left]-2~;~\dfrac{3}{2}\right[$.
		\item  Calculer I $ = \displaystyle\int_{-2}^0 g(x)\: \text{d}x$
 : on en donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}