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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat juin 1995}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P{}.A. }}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Antilles--Guyane juin 1995}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les questions $1$. et $2$. peuvent être traitées de façon indépendante. On prendra }

$\pi \approx  3,14$.

\smallskip

Des parachutistes débutants sautant d'un avion atterrissent tous sur un terrain de un hectare (c'est à dire \np{10000} m$^2$), constitué de la façon suivante :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]une cible circulaire de 60 m de diamètre ;
\item[$\bullet~~$]un champ de luzerne, rectangulaire, de 80 m de long et 50 m de large ;
\item[$\bullet~~$]une mare d'une superficie de $800$ m$^2$ ;
\item[$\bullet~~$]le reste étant en friche.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On assimilera un parachutiste à un point matériel et on supposera que la probabilité qu'un parachutiste débutant tombe sur une partie du terrain est proportionnelle à l'aire de cette partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$A$ : \og Le parachutiste tombe sur la cible \fg.
\item[ ]$B$ : \og Le parachutiste tombe dans la mare \fg.
\item[ ]$C$ : \og Le parachutiste tombe dans la luzerne \fg.
\item[ ]$D$ : \og Le parachutiste tombe dans la friche \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\item On admet que la probabilité pour qu'un parachutiste tombe sur la cible est $0,28$.

Quatre parachutistes sautent l'un après l'autre de l'avion. Déterminer les probabilités des évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$E$ : \og L'un d'entre eux exactement arrive sur la cible \fg.
\item[ ]$F$ : \og L'un d'entre eux au moins arrive sur la cible \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 14 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]- 2~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = x^2 + 3\ln(x + 2).\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij. (unités graphiques : 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de $I$ et donner une équation de l'asymptote à $(\mathcal{C})$.
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer qu'elle est strictement positive sur $I$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $I$.
		\item Calculer $f(-1,6)$ et $f(-1,5)$. 
		
En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[- 1,6~;~- 1,5]$. 

Déterminer à l'aide d'une calculatrice un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
	\end{enumerate}
\item Construction de la courbe $(\mathcal{C})$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit A le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $0$. Déterminer une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ en A.
		\item Représenter dans le repère \Oij{} de l'annexe le point A, la tangente à $(\mathcal{C})$ en A, la courbe $(\mathcal{C})$ et son asymptote.
	\end{enumerate}
\item Calcul d'aire.
	\begin{enumerate}
		\item Soit la droite $(D)$ d'équation $y = 1$. Hachurer la partie du plan comprise entre la droite $(D)$, la courbe $(\mathcal{C})$ et les deux droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$.
		\item Soit $H$ la fonction définie sur $I$ par : 
		
		\[H(x) = (x + 2) \ln(x + 2) - x.\]
		
Calculer $H'(x)$ puis déterminer l'aire exacte de la partie hachurée. On donnera le résultat en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}