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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\[3pt] Antilles-Guyane juin 1997}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient 5 boules rouges et 10 boules bleues indiscernables au toucher. 

\smallskip

\emph{On exprimera les résultats numériques demandés dans l'exercice à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard simultanément 3 boules de l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il y a $455$ tirages possibles.
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir $3$ boules bleues ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir 1 boule rouge et 2 boules bleues ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 1 boule rouge ?
	\end{enumerate}
\item On tire successivement, dans l'ordre et sans remise, 2 boules de l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de tirages possibles ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une première boule bleue et une deuxième boule rouge?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une première boule bleue et une deuxième boule bleue?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

On dispose de deux dés parfaits (à 6 faces). L'épreuve consiste à lancer simultanément ces deux dés. 

On appelle score la somme des points qui figurent sur les deux faces supérieures.

Exemple : si $1$ et $6$ apparaissent, le score est $7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la probabilité d'obtenir un score égal à $8$ est $p = \dfrac{5}{36}$.
\item L'expérience consiste à présent à répéter $10$ fois l'épreuve et à noter le nombre de fois où le score $8$ a été obtenu.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de probabilité associée à cette expérience est une loi binomiale que l'on précisera.
		
\emph{On exprimera les résultats suivants à $10^{-3}$ près.}
		
		\item Déterminer par le calcul la probabilité d'obtenir $3$ fois le score $8$.
		\item Déterminer par le calcul la probabilité d'obtenir entre $3$ et $5$ fois (bornes incluses) le score $8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[- 1~;~4]$ par 

\[f(x) =\text{e}^{- 0,5x + 1}.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij. Unité graphique : 2 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Montrer que $f'$ est négative.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[- 1~;~4]$. Les valeurs de $f(x)$ seront exprimées à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 2.
\item Recopier et compléter le tableau suivant où les valeurs numériques de $f$ seront calculées à $10^{-1}$ près.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&$- 0,5$&0&1&3&3,5\\ \hline
$f(x)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(T)$ dans le repère \Oij{} de l'annexe.
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[- 1~;~4]$ par 

\[F(x) = - 2 \text{e}^{- 0,5x + 1}.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[- 1~;~4]$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation 
$x = 2$.
		\item Calculer l'aire de ce domaine. On donnera sa valeur exacte en unité d'aire puis une valeur approchée exprimée en cm$^2$, à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}