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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Antilles juin 1999}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4 points}

\medskip

Dans une classe de terminale composée de 25 élèves, chaque élève possède une calculatrice et une seule de marque $C_1$ ou  $C_2$.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\triangleright~~$]6 garçons ont une calculatrice de marque $C_1$.
\item[$\triangleright~~$]64\,\% des élèves de la classe ont une calculatrice de marque $C_2$.
\item[$\triangleright~~$]40\,\% des élèves de la classe sont des filles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre d'élèves de la classe qui possèdent une calculatrice de marque $C_2$.
		\item Calculer le nombre de filles dans la classe.
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
		
		\medskip
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}c|}\hline
&Nombre de calculatrices de marque $C_1$& Nombre de calculatrices  de marque $C_2$& Total\\ \hline
Nombre de garçons&&&\\ \hline
Nombre de filles&&&\\ \hline
Total&&&\\ \hline
\end{tabularx}
		\medskip
		
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un élève parmi les garçons. Quelle est la probabilité pour que ce garçon possède une calculatrice de marque $C_1$ ?
\item On choisit au hasard un élève parmi les élèves qui possèdent une calculatrice de marque $C_2$. Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale $\mathcal{N}(10~;~3)$, c'est à dire la loi normale de
moyenne $10$ et d'écart-type $3$.

On pourra utiliser une table de la loi normale centrée réduite pour répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X < 14,5)$.
\item Calculer $P(7,6 < X < 13,6)$.
\item Déterminer $a$, réel positif, tel que : $P(10 - a < X < 10 + a) = 0,95$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 12 points}

\medskip

Vous disposez en annexe des représentations graphiques des deux fonctions $f$ et $F$, représentées dans le même repère orthonormal \Oij.

$\left(\mathcal{C}_f\right)$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

$\left(\mathcal{C}_F\right)$  est la courbe représentative d'une fonction F définie et dérivable sur $\R$.

\bigskip

\textbf{Première partie :} lecture graphique

\medskip

\emph{Vous répondrez aux questions suivantes à l'aide d'une simple \textbf{lecture graphique} en rédigeant la démarche adoptée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer comment observer que $F$ est paire et que $f$ est impaire.
\item On admet que $f$ est la fonction dérivée de $F$. En utilisant $\left(\mathcal{C}_f\right)$, donner une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente à 
$\left(\mathcal{C}_F\right)$ au point d'abscisse $- 2$.

En déduire le tracé de cette tangente : il sera effectué sur l'annexe jointe, qui sera rendue avec la copie.
\item Donner des valeurs approchées de $F(1)$ et $F(0)$ ; en déduire une valeur approchée, en unités d'aires, de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie :} étude de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right)\]

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\emph{On admettra que $f$ est effectivement la fonction de la première partie.}

\bigskip
	
\textbf{Troisième partie :} calcul d'aire
	
\medskip
	
Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par : 
	
\[F(x) =\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{- x}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée $F'$ de la fonction $F$.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aires, du domaine hachuré sur le graphique de la première partie.
\item On pose $d(x) = F(x) - f(x)$, pour tout nombre réel $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $d$ en $+ \infty$.
		\item Interpréter géométriquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.5,-5.5)(5.5,7.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](-6,-6)(6,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.5,-5.5)(5.5,7.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 2.71828 x neg exp sub 0.5 mul}
\psline(1,0)(0,0)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{2.71828 x exp 2.71828 x neg exp sub 0.5 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{3}{2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add 0.5 mul}
\uput[l](-2.25,-4.5){\blue $\left(\mathcal{C}_f\right)$}
\uput[l](-2.25,5.5){\red $\left(\mathcal{C}_F\right)$}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}