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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat juin 2002}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P{}.A. }}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Antilles--Guyane juin 2002}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-3}$ près.}

\smallskip

Un jardinier sème dix graines d'une même plante exotique dans des conditions identiques. La probabilité de germination de chaque graine de cette plante est 0,3. Les germinations sont supposées indépendantes. 

On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de graines qui germent parmi les dix semées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que cinq graines exactement germent.
\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins une germination.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip

Un commerçant achète ses agrumes chez deux fournisseurs A et B qui lui procurent respectivement 60\,\% et 40\,\% des pamplemousses qu'il vend.

Ces pamplemousses ont la chair jaune ou rose. On sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des pamplemousses du fournisseur A ont la chair jaune;
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des pamplemousses du fournisseur B ont la chair jaune.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation au moyen d'un arbre de probabilités, en précisant les valeurs des probabilités sur chacune des branches.
\item Paul achète un pamplemousse chez ce commerçant. Quelle est la probabilité qu'il ait la chair jaune et qu'il provienne du fournisseur A ?
\item Pierre achète un pamplemousse chez ce commerçant.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il ait la chair jaune ?
		\item Sachant qu'il avait effectivement la chair jaune, quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur A ? Arrondir à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 12 points}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ donnée en annexe est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par 

\[f(x) = (ax + b) \text{e}^{-x},\]

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

La droite $(T)$ est tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $0$.

On considère les points suivants : A$(1-~;~1 )$, B$\left(2 ~;~\dfrac{3}{4}\right)$, E(2~;~0) et F $\left(\dfrac{1}{2}~;~0\right)$.

\textbf{Partie A : recherche de la fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, en expliquant la démarche adoptée, donner les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$.
\item Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déduire des questions précédentes que $a = 2$ et $b = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} étude de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par 

\[f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, indiquer le comportement de $\left(\mathcal{C}_f\right)$ en $+ \infty$. Justifier le résultat par un calcul.

Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_f\right)$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ (on pourra utiliser A. 2.) et étudier son signe.
		\item Construire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C} : calcul d'aire

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = - (2x + 3)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f$ pour tout réel $x$.
(on pourra utiliser A. 2.).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x$, puis sa valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
		\item Interpréter géométriquement $\displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du trapèze (ABEF) en unités d'aire.
		\item Comparer les valeurs obtenues aux 2. a. et 3. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psframe[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt](-1.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-2,-4)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2.5}{x 1 add}
\uput[dr](2,3){$(T)$}\uput[u](4.75,0.){$\left(\mathcal{C}_f\right)$}
\uput[d](5.3,0){$x$}\uput[l](0,3.35){$y$}
\psdots[linecolor=red](0.5,1.25)(2,0.75)(2,0)(0.5,0)
\uput[ur](0.5,1.25){A} \uput[ur](2,0.75){B} \uput[dr](2,0){E} \uput[d](0.5,0){F}
\uput[dr](0,0){O} 
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}