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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat juin 2003}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P{}.A. }}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright \\ Antilles--Guyane    juin 2003}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4 points}

\medskip

Un voyageur européen a collectionné dans une boîte les pièces de 1 euro des pays qu'il a visités. 

Il a dans sa boîte : 5 pièces françaises, 5 pièces italiennes, 3 pièces espagnoles, 2 pièces allemandes. On suppose ces pièces indiscernables au toucher.

L'épreuve consiste à tirer au hasard et simultanément 4 pièces dans la boîte.

Soit les évènements :

\smallskip

$E$ : \og Tirer exactement une pièce de chaque pays \fg.

$F$ : \og Tirer exactement deux pièces françaises \fg.

\smallskip

\emph{Les résultats des probabilités seront exprimés sous forme décimale, arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de tirages possibles ?
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $F$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 3 points}

\medskip

Le centre régional d'information et de coordination routière (C. R. I. R.) a étudié la vitesse des véhicules circulant sur une route nationale. Cette étude a montré que la variable aléatoire $X$, égale à vitesse (en km/h) des véhicules observés, suit la loi normale de moyenne $m = 95$ et d'écart-type $\sigma = 15$.

\smallskip

\emph{Les résultats des probabilités seront exprimés sous forme décimale, arrondis à $10^{-4}$ près.}

\smallskip

Déterminer les probabilités pour qu'un véhicule :

\medskip

\begin{enumerate}
\item ait une vitesse inférieure à 90~km/h.
\item ait une vitesse supérieure à 110~km/h.
\item ait une vitesse comprise entre 90~km/h et 110~km/h.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 13 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

Soit $g$ la fonction définie sur ]0~;~8] par 

\[g(x) = 1 - x^2 - \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite en 0 de $g$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de ]0~;~8].
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~8], $g'(x)$ est négatif.
		\item En déduire le tableau de variation de $g$ sur ]0~;~8]. On indiquera la valeur exacte de $g(8)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(8)$.
		\item À l'aide du tableau de variation de $g$, préciser le signe de $g(x)$ sur les intervalles ]0~;~1] et [1~;~8].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~8] par 

\[f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 1 + \dfrac{\ln x}{2x}\]

 et $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite en 0 de! Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~8], \:$f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$.
		\item À l'aide du 3. de la partie A, montrer que :
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de ]0~;~1] ;
\item[$\bullet~~$]$f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de [1~;~8].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~8]. On indiquera les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(8)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant où les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,25 	&0,5 	&1 	&1,5 	&2 	&3 	&4 	&6 	&8\\ \hline
$f(x)$	&		&		&	&		&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
		
		\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère orthonormal \Oij{} de l'annexe.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans [2~;~3].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}