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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
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\begin{center} {\decofourleft~\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et  de l'Environnement~\decofourright \\Nouvelle Calédonie novembre 2004}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une fromagerie artisanale a mis au point un nouveau fromage aux herbes. Avant le lancement sur le marché, une enquête est réalisée sur le goût et l'odeur de ce fromage. Au cours de celle-ci, chaque personne doit donner son appréciation :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur l'odeur, qui a deux modalités (odeur forte et odeur non forte) ;
\item[$\bullet~~$] sur le goût, qui a deux modalités (goût épicé et goût non épicé).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les résultats obtenus sont les suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]60\,\% des personnes interrogées trouvent que le fromage a une odeur forte;
\item[$\bullet~~$]parmi les personnes interrogées qui trouvent le fromage à odeur forte, 30\,\% le
trouvent épicé;
\item[$\bullet~~$]10\,\% des personnes interrogées ne trouvent ni l'odeur forte ni le goût épicé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On interroge au hasard une personne ayant donné son appréciation. On note :

\begin{description}
\item[ ] $F$ l'évènement: \og L'appréciation est: odeur forte \fg, $\overline{F}$ l'évènement contraire de $F$.
\item[ ] $E$ l'évènement: \og L'appréciation est: goût épicé \fg, $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(E \cap F) = 0,18$ puis recopier et compléter le tableau des probabilités du document donné en annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la personne interrogée réponde que :
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le fromage a un goût épicé?
\item[$\bullet~~$]le fromage a une odeur forte ou un goût épicé ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item Quelle est la probabilité qu'une personne trouvant le fromage épicé lui trouve également une odeur forte ?
	\end{enumerate}
\item Les évènements \og Odeur forte \fg{} et \og Goût épicé \fg{} sont-ils indépendants ? 

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que cette fromagerie produit 18\,\% de fromages à odeur forte et au goût épicé. Un technicien teste au hasard et avec remise $20$ fromages.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fromages ayant une odeur forte et un goût épicé parmi les $20$ fromages testés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-3}$ près.

Quelle est la probabilité que parmi les $20$~fromages :
	\begin{enumerate}
		\item il n'y ait aucun fromage à odeur forte et au goût épicé ?
		\item il y ait exactement un fromage à odeur forte et au goût épicé ?
		\item il y ait au moins deux fromages à odeur forte et au goût épicé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

On a étudié dans des conditions précises d'élevage la croissance du bar, poisson apprécié pour la qualité de sa chair. 

L'expression approximative de sa masse (exprimée en kg), en fonction du temps x (exprimé en années écoulées depuis l'éclosion), est : $4\left(1- \text{e}^{- 0,14x}\right)$.

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 4\left(1- \text{e}^{- 0,14x}\right)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite en $+ \infty$ de $f$. En déduire l'existence, pour la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$, d'une asymptote
$(D)$ dont on donnera une équation.
		\item Interprétation: quelle est la masse théorique maximale de ce poisson ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, \:  $f'(x) > 0$.
		\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\textbf{Les résultats des deux questions suivantes seront arrondis à \boldmath$10^{-2}\unboldmath$ près.}

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = 0,4$.
		\item Interprétation : le bar portion a une masse voisine de $400$~g, quel est son âge en mois ?
	\end{enumerate}
\item Calculer le réel $M = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Goût}{Odeur}	&$F$	&$\overline{F}$	&Total\\ \hline
$E$						&0,18	&				&\\ \hline
$\overline{E}$			&		&				&\\ \hline
Total					&		&				&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}