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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small Série S.T.A.E.-S.T.P.A.}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement\\Métropole novembre 2002}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill}

\medskip

Un concessionnaire vient de recevoir un lot de $500$~voitures à vendre d'occasion.

Il sait que sur ces $500$~voitures, $10$ présentent a moins un défaut d'allumage, 8 présentent au moins un défaut de freinage et 5
présentent les deux défauts.

On note A l'évènement : \og la voiture présente un défaut d'allumage \fg.

On note F l'évènement : \og la voiture présente un défaut de freinage \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé en donnant $p$(A), $p$(F), $p(\text{A} \cap \text{F})$.
\item  Déterminer la probabilité qu'une voiture du lot présente au moins l'un des deux défauts.
\item  Sachant qu'une voiture donnée du lot présente un défaut d'allumage, déterminer la probabilité qu'elle présente un
défaut de freinage.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}

\medskip

Le concessionnaire procède à un test : il prélève une voiture au hasard, teste si elle est défectueuse, c'est-à-dire si elle présente
au moins l'un des deux défauts. Il répète cette expérience 10~fois, de manière indépendante.

On note X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de voitures défectueuses lors des 10 contrôles.

La probabilité qu'une voiture soit défectueuse est égale à $0,026$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  aucune voiture n'est défectueuse lors de ces 10 contrôles.
		\item  Au moins deux voitures sont défectueuses lors de ces 10 contrôles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{g}$ présentée dans le document en annexe est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction
g définie et dérivable sur $]0~;~2]$. La tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse$\dfrac{1}{2}$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide du graphique, et en expliquant la démarche adoptée, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  Donner $g(1)$ et $g'\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
		\item  Déterminer le maximum de $g$. En déduire que pour tout $x$ de $]0~;~2]$,
		
$g(x) -  4 < 0$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $g$ définie sur $]0~;~2]$ par : $g(x) = a + b\ln x - 2x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les valeurs du 1. a., déterminer les réels $a$ et $b$.
		\item  En déduire que pour tout $x$ de $]0~;~2],~ g(x) = 3 + \ln x - 2x^2$.
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite}, on admettra que pour tout $x$ de $]0~;~2],~ g(x) - 4 < 0$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~2]$ par :
\[ f(x)  = \dfrac{\ln x}{x} + 2x.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un nouveau repère orthogonal d'unités graphiques : 5~cm en abscisses et 1~cm en
ordonnées.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~2],~f'(x) = \dfrac{4 - g(x)}{x^2}$.
		\item  En se référant à la partie A, étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~2]$.
		\item  Donner le sens de variation de $f$ sur $]0~;~2]$.
	\end{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{f}$ ?
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\emph{Les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.}	
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x$		&0,2&0,3&0,4&0,5&1	&1,5&2  \\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le nouveau repère.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(3,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3.5)(3,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt,subgriddiv=1,griddots=8](-3,-3)(3,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){0,5}\uput[r](1.8,-2.8){$\mathcal{C}_{g}$} 
\psline{<->}(-0.5,1.80685)(1.5,1.80685)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.01}{1.9}{3 x ln add x dup mul 2 neg mul add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}