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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat juin 1995}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P{}.A. }}
\rfoot{\small{Métropole}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Métropole juin 1995}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 7 points}

\medskip

On pose l'hypothèse qu'un joueur de rugby a une chance sur trois de transformer une pénalité et que les tentatives sont indépendantes les unes des autres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lors d'un match, ce joueur tente de transformer 9 pénalités. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de pénalités effectivement transformées par ce joueur.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
		\item Déterminer les probabilités des évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]ce joueur transforme exactement 3 pénalités ;
\item[$\bullet~~$]ce joueur transforme au moins 1 pénalité ;
\item[$\bullet~~$]ce joueur transforme entre 4 et 6 pénalités (bornes incluses).
\end{itemize}		
\setlength\parindent{0mm}
		
	\end{enumerate}
\item Lors d'un match, ce joueur tente de transformer $n$ pénalités.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité, notée $P_n$, pour que ce joueur ne transforme aucune pénalité.
		\item En déduire le nombre minimal $n_0$ de pénalités à tenter pour que la probabilité $P_n$ soit inférieure ou égale à $0,01$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 13 points}

\medskip

On considère la fonction définie sur ]0~;~4] par : 

\[f(x) = 8 \ln x - 4x + 4.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique
dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $0$. En déduire l'existence d'une asymptote.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. Montrer que $f'(x)$ est du signe de 
$(2 - x)$. En déduire le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle [3,5~;~3,7]. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
\item Établir un tableau de valeurs numériques de $f$ et construire $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij{} de l'annexe.
\item Déterminer une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1 et tracer cette tangente.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie sur ]0~;~4] par : 
		
		\[H(x) = x\ln x - x\]
		
est une primitive de la fonction ln.
		\item Déduire de a. une primitive de la fonction $f$ sur ]0~;~4].
		\item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}