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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\[3pt] Métropole  La Réunion Mayotte juin 1997}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4 points}

\medskip

On considère que 20\,\% des pièces de 10~F qui sont en circulation dans une ville donnée sont fausses. 

Dans une laverie de cette ville, les machines à laver fonctionnent avec des pièces de 10~F.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] Si une pièce est fausse, la machine la refuse 4 fois sur 5.
\item[ ] Si une pièce est vraie, la machine l'accepte à coup sûr.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si un client met une pièce de 10~F prise au hasard, quelle est la probabilité pour que cette pièce soit refusée par la machine?
\item L'une des machines de la laverie nécessite que l'on y mette successivement exactement 5 pièces de
10 F.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de pièces (sur les 5) rejetées par la machine.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,16$.
	\end{enumerate}
\smallskip		
\emph{On exprimera les résultats suivants à $10^{-3}$ près}
\smallskip
	\begin{enumerate}[resume]			
		\item Calculer la probabilité pour qu'aucune pièce ne soit rejetée.
		\item Calculer la probabilité pour qu'une seule pièce soit rejetée.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins deux pièces soient rejetées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip

On admet que la masse, exprimée en kg, des vaches de la race SALERS est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de moyenne $650$ et d'écart-type $50$.
En utilisant une table de loi normale  :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour qu'une vache de la race SALERS pèse plus de $610$~kg.
\item Déterminer la probabilité pour qu'une vache de la race SALERS ait une masse comprise entre $600$~kg et $700$~kg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~4] par 

\[f(x) = 4\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + 2.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique  dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2 cm.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de la fonction $f$ en O. En déduire l'existence d'une asymptote à $(\mathcal{C})$ dont on précisera
une équation.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$
		\item Montrer que $f'(x)$ est du signe de $(2 - x)(2 + x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~4].
	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$.
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0,2 &0,5 &1 &1,5 &2 &3 &4\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les valeurs numériques de $f$ seront calculées à $10^{-2}$ près.
\item  Tracer la courbe v et la droite $(T)$ dans le repère \Oij{} de l'annexe.
\item  Soit $F$ la fonction définie sur ]0~;~4] par 

\[F (x) = 4x\ln x - \dfrac{1}{6}x^3 - 2x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~4].
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan limité par la courbe 
	$(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
		\item Calculer l'aire de ce domaine. On donnera sa valeur exacte en unités d'aire, puis une valeur approchée exprimée en cm$^2$ au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}