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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Métropole  La Réunion Mayotte juin 1999}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient $15$ jetons indiscernables au toucher. Il y a $3$ jetons rouges, $4$~noirs et $8$~blancs.

L'épreuve consiste à tirer simultanément deux jetons au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'évènement : \og les deux jetons sont rouges \fg. Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
\item On note $B$ l'évènement : \og les deux jetons sont de la même couleur \fg. Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
\item On note $C$ l'évènement : \og au moins un des deux jetons est blanc \fg. Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
\item Calculer la probabilité sachant que les deux jetons sont de la même couleur, de
l'évènement : \og les deux jetons sont blancs \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

Une machine d'ensachage de pruneaux d'Agen produit des sachets dont la masse
requise est 1 kg.

De petites variations de remplissage existent et en réalité, la masse des sachets,
exprimée en kg, suit la loi normale de moyenne $1,01$ kg et d'écart-type $0,01$ kg.

On pourra utiliser une table de la loi normale centrée réduite pour répondre aux
questions suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour qu'un sachet pris au hasard ait une masse inférieure
à 1~kg. 

En déduire, pour un lot de \np{1000} sachets, le nombre approximatif de sachets
ayant une masse inférieure à 1~kg.
\item Déterminer sur un lot de 1000 sachets:
	\begin{enumerate}
		\item le nombre approximatif de sachets ayant une masse supérieure à $1,025$~kg.
		\item le nombre approximatif de sachets ayant une masse comprise entre $1$~kg et
$1,015$~kg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Le graphique de l'annexe ci-jointe sera rendu avec votre copie.}

\medskip

Le graphique de l'annexe représente dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique
1~cm, la courbe $(\mathcal{C})$ représentative d'une fonction $f$. Cette fonction est définie et dérivable sur $\R$. Dans tout le problème, la fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$. La droite $(T)$
est tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, par lecture graphique :

\begin{itemize}
\item une équation de la droite $(T)$,
\item les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\end{itemize}

\item On admet que l'expression de la fonction $f$ est de la forme suivante :

\[f(x) = x + a + b\text{e}^{- x}\]

où $a$ et $b$ sont deux réels. 

Déduire du 1. le système d'équations que $a$
et $b$ doivent vérifier. 

En déduire $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admettra dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x - 1 + 2\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.

Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire que $f$ admet un minimum en $\ln 2$. Préciser la valeur exacte de ce minimum.
\item Tracer sur l'annexe la droite $(D)$ d'équation $y = x - 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'annexe, hachurer le domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(D)$, et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 3$.
		
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de ce domaine.
		\item Déterminer une primitive $F$, sur $\R$, de la fonction $f$.
		\item On note $\mathcal{A}_1$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations respectives $x = 1$ et 
		
$x = 3$.
		
On note $\mathcal{A}_2$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan limité par la droite $(D)$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations respectives $x = 1$ et 
		
$x = 3$.
		
Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}_1$,\: $\mathcal{A}_2$, en déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 
		
Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.

\textbf{N'oubliez pas de rendre l'annexe avec votre copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{2cm}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-5,-4.1)(4.1,7.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](-5,-4)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-4)(4,7.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-5,-4)(4,7.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{1 x sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4}{x 1 sub 2 2.71828 x exp div add}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](-1.6,7){\blue $(\mathcal{C})$}\uput[dl](-4,5){$(T)$}
\end{pspicture*}
\end{center}	
	
\end{document}