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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1996}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Métropole septembre 1996}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 3 points}

\medskip

À l'issue d'une fabrication, on a constaté qu'un élément pouvait présenter deux sortes de défauts :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\triangleright~~$]le défaut, noté $D_1$, avec une probabilité de $0,03$ ;
\item[$\triangleright~~$]le défaut $D_2$, avec une probabilité de $0,07$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prélève un élément au hasard, et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$E$ : \og L'élément prélevé présente le défaut $D_1$ \fg.
\item[ ]$F$ : \og L'élément prélevé présente le défaut $D_2$ \fg.
\item[ ]$A$ : \og L'élément prélevé présente les défauts $D_1$ et $D_2$ \fg.
\item[ ]$B$ : \og L'élément prélevé présente au moins l'un des deux défauts \fg.
\item[ ]$C$ : \og L'élément prélevé ne présente aucun défaut \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que les évènements $E$ et $F$ sont indépendants. Calculer les probabilités des événements $A$, $B$ et $C$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip

On considère une production végétale dont le caractère \og masse \fg{} est une variable aléatoire, notée $X$, dont la loi de probabilité est la loi normale (de Laplace-Gauss) de moyenne $220$~grammes et d'écart-type $25$~grammes. On prélève un élément au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que la masse de cet élément soit inférieure à $250$~grammes.
\item Calculer la probabilité pour que la masse de cet élément soit supérieure à $200$~grammes.
\item Calculer la probabilité pour que la masse de cet élément soit comprise entre $180$ et $280$~grammes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 13 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 + \ln (2x).\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. Unité graphique : 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote qu'on précisera.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer que $f$ est positive.
		\item En déduire la variation de $f$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\mathcal{C})$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0,1 	&0,2 	&0,3 	&0,5 	&1 	&2 	&3\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Les valeurs numériques de $f$ seront calculées à $10^{-1}$ près.
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (T) dans le repère \Oij{} de l'annexe. On se limitera aux valeurs
de $x$ de l'intervalle ]0~;~3].
\item Soit $F$ la fonction définie sur ]0~;~3] par : $F(x) = x \ln (2x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~3].
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et 
	$x = 2$.
		\item Calculer l'aire de ce domaine: on donnera sa valeur exacte en unités d'aire, puis une valeur approchée en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}