\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STAV},
pdftitle = {Métropole juin 1998},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\[3pt] Métropole  La Réunion Mayotte juin 1998}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4 points}

\medskip

On considère que la probabilité qu'un étudiant inscrit dans une école technique en sorte diplômé est 0,6. 

On considère un groupe de 5 étudiants et on note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre d'étudiants sortant diplômés dans ce groupe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la loi de $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Déterminer les probabilités des événements suivants:
	\begin{enumerate}
		\item Les 5 étudiants sortent diplômés.
		\item Un seul étudiant sort diplômé.
		\item Au moins un étudiant sort diplômé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip

Une machine conditionne des sachets de thé en boites. 

On admet que la masse des boites, exprimée en grammes, est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale de moyenne $50$ et d'écart-type $1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour que la masse d'une boite dépasse 52 grammes.
\item On accepte de ne commercialiser que les boites dont la masse est comprise entre $48,5$ et $51,5$ grammes.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour qu'une boite prise au hasard soit commercialisée.
		\item Estimer le nombre de boites pouvant être commercialisées sur une production de \np{100000}~boites.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 12 points}

\medskip

On traite une plante avec un fongicide. On note $f(t)$ la quantité, exprimée en mg, de fongicide présent dans la plante. 

On admet que l'expression de $f(t)$ est : 

\[f(t) = 8\text{e}^{- t} - 8\text{e}^{- 2t}\]

où $t$ est le temps (exprimé en nombre de jours) écoulé depuis le
traitement effectué à la date $t = 0$.

L'objet de l'exercice est donc d'étudier la fonction numérique $f$ définie sur 
$[0~;~+ \infty[$ par : $f(x) = 8\text{e}^{- x} - 8\text{e}^{- 2x}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 3~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $+00$. En déduire l'existence d'une asymptote que l'on précisera.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction!
		\item Montrer que $f'(x)$ peut s'écrire $f'(x) = \text{e}^{- 2x}\left(2 - \text{e}^{x}\right)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. Dresser le tableau des variations de $f$ sur 
$[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5&1	&1,5&2	&3	&4\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les valeurs numériques de $f$ seront calculées à $10^{-2}$ près.
\item  Placer les points du 3. et tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère 
\Oij{} de l'annexe.
\item  À partir du graphique du 4., décrire l'évolution de la quantité de fongicide présent dans la plante en fonction du temps.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
		
		\[F(x) = 8\left(- \text{e}^{- x} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}\right)\]
		
est une primitive de $f$.
		\item La quantité moyenne de fongicide présente dans la plante pendant un intervalle de temps $[a~;~b]$ est donnée par : $M_{[a~;~b]} = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f (x)\:\text{d}x$.

Calculer \displaystyle\int_{0,12}^{2,18} f (x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire la quantité moyenne de fongicide présente dans la plante entre 0,12 jours et 2,18 jours. Le résultat sera donné à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}