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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat septembre 2002}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P{}.A. }}
\rfoot{\small{Métropole }}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Métropole septembre 2002}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 5 points}

\medskip

Dans une classe, on estime que 12\,\% des élèves n'ont pas appris leur leçon un jour donné. Lors d'un test de connaissances réalisé dans ces conditions, on sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]95\,\% des élèves qui n'ont pas appris leur leçon obtiennent une note inférieure à 5/20 ;
\item[$\bullet~~$]2\,\% des élèves qui ont appris leur leçon obtiennent une note inférieure à 5/20.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard ce jour-là un élève pour passer le test de connaissances.

\smallskip

On note $A$ l'évènement : \og l'élève n'a pas appris sa leçon\fg.

On note $B$ l'évènement : \og l'élève obtient au test une note inférieure à 5/20 \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation au moyen d'un arbre de probabilités, en précisant les valeurs des probabilités
sur chacune des branches.
\item Montrer que la probabilité qu'un élève choisi au hasard dans cette classe ce jour-là ait une note de test inférieure à 5/20 est \np{0,1316}.
\item Sachant qu'un élève a obtenu une note inférieure à 5/20, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas appris sa leçon ? 

On donnera ce résultat sous forme décimale, arrondie à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4,5 points}

Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs les masses (exprimées en grammes) des cochons d'Inde adultes d'un élevage. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 580 et d'écart type 40.

On pourra utiliser une table de la loi normale centrée réduite pour répondre aux questions suivantes et on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un cochon d'Inde adulte pris au hasard dans cet élevage:
	\begin{enumerate}
		\item pèse moins de 640 grammes.
		\item pèse plus de 500 grammes.
		\item ait une masse comprise entre 520~g et 640~g.
	\end{enumerate}
\item Pour être commercialisable, un cochon d'Inde adulte doit peser plus de 500~g.
	
Parmi les \np{1000} cochons d'Inde adultes de l'élevage, combien sont commercialisables ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 10,5 points}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2 - 3 - 2\ln x.\]

On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{}d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_f\right)$ ?
		\item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$,\: $f(x)$ peut s'écrire $x\left(x - \dfrac{3}{x}  - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}\right)$ et calculer la  limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$,\: $f'(x)$ est du signe de $x^2 - 1$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du tableau de variations, et sans autre justification, donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$. Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_f\right)$ ?
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~3].
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-2}$ près) :
		
		\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x$		&0,1&0,5&1 	&1,5&2 	&2,5&3 	&4 	&5\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ dans le repère \Oij{} de l'annexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}