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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P{}. M. E. P.{}}}
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\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
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\begin{center} {\decofourleft~\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Nouvelle Calédonie novembre 2005}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale.

Une entreprise fabrique en série des lots de \np{1000} boîtes. Il y a deux types de boîtes T1 et T2, chaque boîte pouvant être livrée en trois coloris distincts : vert, bleu ou bien rouge. 

On considère un lot de \np{1000} boîtes dans lequel :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 40\,\% des boîtes sont vertes dont 20\,\% du type T1 ;
\item 30\,\% des boîtes sont bleues dont 20\,\% de type T2 ;
\item toutes les boîtes rouges sont du type T2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Type T1&Type T2 	&Total\\ \hline
Vertes	&		&			&\\ \hline
Bleues	&		&			&\\ \hline
Rouges	&		&			&\\ \hline
Total 	&		&			&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

 
\item Une boîte est choisie au hasard dans un lot.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item A : \og La boîte est de type T1\fg{} ;
\item B : \og La boîte est de type T1 et elle est bleue\fg{} ;
\item C : \og La boîte est de type T2 ou elle est verte\fg{} ;
\item D : \og La boîte n'est pas rouge\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item Déterminer la probabilité que la boîte soit bleue sachant qu'elle est de type T1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [- 2~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2 + x}{\text{e}^x}\]

et $\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $f(x) = \dfrac{2}{\text{e}^x} + \dfrac{x}{\text{e}^x}$, calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		
On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote (à préciser) à v.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Montrer que $f'(x)$ est du signe de $(- x - 1)$ sur $I$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$.
		
On précisera les valeurs exactes de $f(-2)$ et $f(-1)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude graphique}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $[- \pi~;~\pi]$ par 

\[g(x) = 2\sin x - 1.\]

 La courbe $\left(\mathcal{C}_g\right)$ donnée en annexe est la
représentation graphique, dans un repère orthonormal, de $g$ sur $[- \pi~;~\pi]$.
 
Par lecture graphique répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[- \pi~;~\pi]$, l'équation $g(x) = 0$.
\item Résoudre sur $[- \pi~;~\pi]$, l'équation $g'(x) = 0$.
\item Résoudre sur $[- \pi~;~\pi]$, l'inéquation $g(x) < 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver par le calcul les solutions de l'équation $g(x) = 0$ sur $[- \pi~;~\pi]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_g\right)$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{3}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ sur $[- \pi~;~\pi]$.
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_g\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{\pi}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{Courbe }\boldmath$\left(\mathcal{C}_g\right)$\unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-4,-4.5)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=9](-4,-4)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.141}{3.141}{x 180 mul 3.141965 div sin 2 mul 1 sub}
\uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,1.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}