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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{ Antilles-Guyane Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2016}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Antilles-Guyane Polynésie juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

Les annexes A et B sont à rendre avec la copie

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Un exploitant s’approvisionne en poussins chez un accouveur, personne qui fait éclore des 
\oeufs au moyen de couveuses artificielles. Dès l’éclosion, l’accouveur vaccine les poussins contre les maladies. Il n’existe pour cette exploitation que deux formes de pratiques de vaccinations : par injection ou par l’eau de boisson.
On a constaté que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 30\,\% des poussins ont été vaccinés par l’eau de boisson ;
\item[$\bullet$] 12\,\% de poussins vaccinés par injection ont été malades.
\end{itemize}
On choisit un poussin au hasard. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[] $B$ : \og Le poussin a été vacciné par l’eau de boisson\fg
\item[] $I$ : \og Le poussin a été vacciné par injection\fg
\item[] $M$ : \og Le poussin a été malade\fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire la situation par un arbre de probabilité (certaines branches resteront incomplètes).
\item Déterminer la probabilité que le poussin n’ait pas été malade sachant qu’il a été vacciné par injection.
\item Traduire par une phrase l’évènement $I \cap \overline{M}$ et justifier que $P(I \cap \overline{M}) = 0,616$ .
\item On a constaté aussi que 90\,\% des poussins n’ont pas été malades.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $P\left(B \cap \overline {M}\right) = 0,284$.
\item En déduire que $P_{B} \left(\overline{M}\right) = 0,947$  à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item Quelle semble être la meilleure vaccination pour cette exploitation ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)}.

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse
inexacte ou l’absence de réponse n’enlève et n’ajoute pas de point.

\textbf{Entourer}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

En 2015, l’exploitant a produit 16 tonnes de maïs. Il augmente sa production de 3\,\% par an à partir de 2015
dans le but de devenir autonome pour nourrir ses poulets.

On note  $u_n$ la masse, en tonnes, de maïs produite l’année $2015 + n$ .
\begin{enumerate}
\item  Donner la valeur de  $u_0$ et calculer  $u_1$.
\item Justifier que   $u_{n+1} =1,03u_n$.
\item Pour nourrir tous ses poulets, il lui faut produire une quantité de maïs de 21 tonnes.
\begin{enumerate}
\item Compléter l’algorithme donné en \textbf{annexe B (à rendre avec la copie)} permettant de
déterminer à partir de quelle année sa production personnelle sera supérieure à 21.
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, la valeur affichée par l’algorithme.
\end{enumerate}
\item Déterminer la quantité totale, à la tonne près, de maïs produite de 2015 à 2025 par cet exploitant.

Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront donnés à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath~ près si nécessaire.}

\medskip

Début 2015, l’exploitant fait mesurer la masse de matière organique, en kg pour \np[kg]{100}  de terre, présente
dans la terre d’une de ses parcelles de maïs.

Pour pouvoir augmenter sa production de maïs, il décide d’enrichir sa terre. La masse de matière organique
présente dans la terre est alors modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$
par   
\[f(t)=4- \dfrac{4}{1+\e^{0,15t}}\]
 exprimée en kg pour \np[kg]{100}  de terre, où $t$ est le temps écoulé, exprimé en années, à
partir du jour où la mesure a été réalisée. Début 2015 correspond à $t = 0$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le résultat de la mesure effectuée début 2015.
\item On veut estimer l’évolution de cet enrichissement.
\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .
\item Montrer que $f'(t)=\dfrac{0,6\e^{0,15t}}{\left(1+ \e^{0,15t}\right)^2}$.
\item Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item  Interpréter les résultats obtenus en \textbf{2.a.} et en \textbf{2.c.} dans le contexte de cet exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On donne en \textbf{annexe B} la portion de la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle [5;15].

\begin{enumerate}[resume]
\item Compléter en \textbf{annexe B (à rendre avec la copie)} le tracé de la courbe sur l’intervalle [0~;~20].
\item  On désigne par $Q_m$  la masse moyenne de matière organique présente dans la terre entre la 5\ieme{} et
la 10\ieme{} année.

 On admet que $\displaystyle  Q_m= \dfrac{1}{5}\int_5^{10}f(t)\mathrm{d}t$.
 
Donner une valeur approchée de  $Q_m$ arrondie au dixième. Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}
\newpage 
\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip
Les quatre courbes représentées ci-dessous sont des courbes de GAUSS associées à des variables
aléatoires distribuées suivant une loi normale.

\medskip
\psset{yAxis=false,xunit=1.9,yunit=5,comma=true}
\begin{pspicture}(-2.1,-0.35)(5.61,1.2)
\multido{\n=-1.9+0.1}{76}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](\n,-0.2)(\n,1.1)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray](-1.9,\n)(5.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1.9,-0.1)(5.6,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=0.6pt]{-2}{5.6}{x 3.4 0.5 GAUSS}
\psplot[linecolor=cyan,plotpoints=200,linewidth=0.9pt,linestyle=dotted ]{-2}{5.6}{x 3.2 0.4 GAUSS}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=0.6pt,linestyle=dashed,dash=3mm 3mm 1mm 1mm]{-2}{5.6}{x 3.2 0.8 GAUSS}
\psplot[linecolor=violet,plotpoints=200,linewidth=0.6pt,linestyle=dashed ]{-2}{5.6}{x 0.5 1 GAUSS}
\uput[u](-1,0.1){$C_2$}\uput[u](1.2,0){$C_1$}\uput[d](3.5,1){$C_3$}\uput[ur](3.8,0.5){$C_4$}
\end{pspicture}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque grain de maïs (d’une certaine variété), associe sa masse en
gramme. La variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 3,4$ et d’écart-type $\sigma  = 0,5$ .

\begin{enumerate}
\item   La courbe de GAUSS associée à la variable aléatoire X est

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
  $C_1$& $C_2$& $C_3$&  $C_4$
 \end{tabularx}

\item On prélève au hasard un grain de maïs. La probabilité d’avoir prélevé un grain de maïs dont la
masse est comprise entre 2,4 et 3,4 grammes est à $10^{-2}$ près

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
  $0,48$& $0,5$&  $0,95$&$1$
 \end{tabularx}

 
\item On prélève au hasard un grain de maïs. Un grain de maïs est commercialisable quand sa masse est
supérieure à 2,4 grammes.

La probabilité d’avoir prélevé un grain de maïs commercialisable est à $10^{-2}$ près

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
  $0,03$& $0,5$& $0,95$&  $0,98$
 \end{tabularx}

\end{enumerate}

$C_1$ est associée à une variable aléatoire suivant la loi normale N( $\mu_1$ ; $\sigma_1$ ) et $C_3$ est associée à une variable
aléatoire suivant la loi normale N( $\mu_3$ ; $\sigma_3$ ).

\begin{enumerate}[resume]
\item On peut dire que :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
  $\mu_1 < \mu_3$& $\mu_3 < \mu_1$& $\sigma_1 < \sigma_3$&  $\sigma_3 <\sigma_1$
 \end{tabularx}


\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 question 3.b.}

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\hspace{3em}\textbf{Variables :}

\hspace{5em}U réel

\hspace{5em}N entier naturel

\hspace{3em}\textbf{Initialisation :}

\hspace{5em}Affecter à N la valeur 0

\hspace{5em}Affecter à U la valeur \dotfill \hfill \phantom{x}

\hspace{3em}\textbf{Traitement :}

\hspace{5em}Tant que ………

\hspace{8em}U prend la valeur ……….

\hspace{8em}N prend la valeur ………

\hspace{5em}Fin du Tant que

\hspace{3em}\textbf{Sortie :}

\hspace{5em}Afficher ……………
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4 question 3}

\psset{yAxis=true,xunit=0.6cm,yunit=1.8cm ,labelFontSize=\scriptscriptstyle}
\begin{pspicture}(-2,-0.4)(21,5.75)
\multido{\n=-2+1}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,5.2)}
\multido{\n=-0.4+0.2}{29}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-2,\n)(20.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.9,-0.4)(21,5.21)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{15}{4 4 2.71828 0.15 x mul exp 1 add div sub}
\uput[ur](0,5.1){\scriptsize $y$}\uput[u](20.5,-0.05){\scriptsize$x$}
\end{pspicture}


\end{document}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-2.5)(5,7)
\psaxes[linewidth=1.05pt]{->}(0,0)(-0.25,-2.5)(6,7)
 \multido{\n=0+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,6.5)}
 \multido{\n=-2.5+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(5.5,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{5.2}{x ln 1 sub x 2 mul mul}
 
 
 \uput[dl](0,0){O}\uput[u](2,-2){$\mathcal{C}_g$}
 \pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=violet]{
\psline[linewidth=0.1pt](3,0)(3,0.59167)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{3}{5}{x ln 1 sub x 2 mul mul}
\psline[linewidth=0.1pt] (5,6.0944)(5,0)
}

\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}