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%source : ChloroFil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{ Antilles-Guyane-Polynésie}}
\rfoot{\small{  juin 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Antilles-Guyane-Polynésie juin 2018}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L' annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée.}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip


\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une brioche est dans une étuve à 30\textcelsius{}  à l’instant initial $t = 0$ où $t$ est exprimé en minutes.

Un élève de STAV, en filière transformation, la place dans un four chauffé à \np{180}\textcelsius{}  pendant 35 minutes.
On admet que la température au c\oe ur de la brioche, exprimée en degré Celsius, est définie sur l’intervalle
[0~;~35] par une fonction du temps $t$ exprimé en minutes de la forme $f(t) = a\e^{bt} + 180$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En sachant que $f (0) = 30$ , justifier que $a = -150$.
		\item Au bout de 10 minutes, on constate que la température de la brioche est de 60 \textcelsius. Déterminer la
valeur exacte du réel $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = -150\e^{-0,022 t} +180$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $f'(t) = 3,3\e^{- 0,022t}$ pour tout réel $t$ de l’intervalle [0~;~35].
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur [0~;~35].
		\item Interpréter le résultat de la question \textbf{2. b.} dans le contexte de l’exercice.
		\item Par la méthode de votre choix, que vous expliquerez, déterminer le temps nécessaire, en minutes, pour que la température au c\oe ur de la brioche soit supérieure à 100\textcelsius.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin de comparer l’action de deux levures sur la brioche, l’élève de STAV observe, lors de son stage en boulangerie, 300 pâtes de brioche et compare la capacité fermentaire de la levure que l’on qualifiera ici de \og Faible, Moyenne, Bonne ou Excellente\fg. Il obtient les résultats suivants :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.48}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{5.85cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\diagbox[innerwidth=\hsize]{Capacité\\
fermentaire de la levure de la pâte}{Levure}&Levure A& Levure B\\\hline
Faible &7& 3\\\hline
Moyenne &24& 18\\\hline
Bonne &43& 28\\\hline
Excellente& 84 &93\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Compléter en \textbf {annexe A (à rendre avec la copie après avoir été numérotée)} le tableau recensant les
profils colonnes des différentes levures, ainsi que le profil colonne marginal.
\item La capacité fermentaire de la pâte dépend-elle de la levure ? Justifier votre réponse à l’aide du
tableau obtenu à la question précédente ou du graphique suivant :


\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=6.5,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=1pt}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.01)(6,1.27)
 \multido{\n=0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](0,\n)(4,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,labels=y,Dy=0.2,]{-}(0,0)(4,1.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red,linewidth=0.3pt](0.75,0)(1.25,0.53165)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red,linewidth=0.3pt](1.75,0)(2.25,0.655)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red,linewidth=0.3pt](2.75,0)(3.25,0.590)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green,linewidth=0.3pt](0.75,0.53165)(1.25,0.80380)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green,linewidth=0.3pt](1.75,0.655)(2.25,0.82218)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green,linewidth=0.3pt](2.75,0.590)(3.25,0.82667)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,linewidth=0.3pt](0.75,0.80380)(1.25,0.9557)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,linewidth=0.3pt](1.75,0.82218)(2.25,0.94894)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,linewidth=0.3pt](2.75,0.82667)(3.25,0.96667)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.3pt](0.75,0.9557)(1.25,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.3pt](1.75,0.94894)(2.25,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.3pt](2.75,0.96667)(3.25,1)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=red](4,0.4)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=green](4,0.5)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=cyan](4,0.6)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=gray](4,0.7)
  \uput[r](4.1,0.4){Excellente}\uput[r](4.1,0.5){Bonne}\uput[r](4.1,0.6){Moyenne}\uput[r](4.1,0.7){Faible}
  \uput[u](2,1){ \footnotesize profil colonne levures A et B profil colonne marginal}
  \rput[rC](1.25,-0.02){\scriptsize Profil levure A}\rput[rC](2.5,-0.02){\scriptsize Profil levure B}
  \rput[rC](4.25,-0.02){\scriptsize Profil colonne marginal}
  
  \rput(-0.46,0.88){\rotatebox{90}{\scriptsize Fréquences}}
\end{pspicture}
\end{center}

% \psset{yunit=1cm}
% \begin{pspicture}(-0.5,-1.75)(3,1.2)
% \psaxes[axesstyle=frame,Ox=0,Dx=1,Dy=0.2,labels=y,ticks=y](0,0)(3,1.1)
% \psbarscale(0.6){}
% \readpsbardata{\data}{data1.csv}
% \psbarchart[barstyle={red,blue,green,black},chartstyle=stack]{\data}
% \end{pspicture}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
%CC BY-SA 3.0 JJ Harrison - Own work
Nourrir des poules avec les restes alimentaires permet de réduire la quantité de déchets à incinérer. Afin de
réduire le volume des ordures ménagères, une communauté de communes offre en 2017 des poules à
50 foyers et décide ensuite, chaque année, d’augmenter le nombre de nouveaux foyers à qui l'on offre des
poules, de 18\,\% par an.

On modélise le nombre de foyers ayant reçu des poules au cours de l’année $2017 + n$ par une suite $\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que  $u_0 = 50$ puis que $ u_1=59 $.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1}= 1,18\times u_n$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ , 
 $u_n = 50\times (1,18)^n$.
\item Déterminer, par la méthode de votre choix que vous expliquerez, l'année à partir de laquelle la communauté de communes offrira des poules à plus de \np{1000} foyers.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Selon l’INSEE, la population française au 1\up{er} janvier 2017 se compose de 49\,\% d’hommes et de 51\;\% de
femmes. D’autre part, en France, on estime que 8\,\% des hommes sont daltoniens.
Les femmes ne sont, quant à elles, quasiment pas touchées par ce trouble de la vision : seulement 0,5\,\%
des femmes sont daltoniennes.

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $\mathbf{10^{-3}}$ près.}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On interroge une personne au hasard dans la population française.

On note $H$ l’évènement : \og la personne est un homme\fg

\hspace{3.9em} $D$ l’évènement : \og la personne est daltonienne\fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation décrite dans l’énoncé, à l’aide d’un arbre de probabilité.
\item Déterminer la probabilité d’être un homme et daltonien.
\item En déduire que la probabilité d’interroger une personne daltonienne est 0,042.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un groupe est constitué de 120 lycéens.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de daltoniens parmi ces 120 lycéens.
On admet que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n =120$ et $p = 0,042$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(X = 0)$ et $p(X = 1)$.
\item En déduire la probabilité qu’il y ait au moins deux daltoniens parmi les 120 lycéens.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.}

Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par \textbf{vrai} ou \textbf{faux}, puis justifier.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de point. Répondre sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Affirmation 1 :} L'algorithme suivant permet de calculer puis d'afficher le produit des 7 premiers
entiers naturels non nuls : $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7$ .

\renewcommand{\arraystretch}{0.9}
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{7cm}|}
\hline
\textbf{Variables}\\
$N$ est du type nombre entier\\
$P$ est du type nombre réel\\
\raisebox{2.5ex}{}
\textbf{Initialisation}\\
$N$ prend la valeur 7\\
$P$ prend la valeur 0\\
\raisebox{2.5ex}{}
\textbf{Traitement}\\
Pour $K$ allant de 1 à $N$ faire\\
\hspace{2.5em}$P$ prend la valeur $P\times K$\\
Fin Pour\\
\raisebox{2.5ex}{}
\textbf{Sortie}\\
Afficher $P$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 3 + 2\ln(x)$.

Dans un repère orthonormé, on note $C$ la courbe représentative de $f$?

\textbf{Affirmation 2 :} La tangente à $C$ au point A(1~;~3) a pour équation : $y = 2x +1$
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln x $ et $G$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x \ln x$.

\textbf{Affirmation 3 :} $G$ est une primitive de $g$ sur $]0~;~+\infty[$

\item \textbf{ Affirmation 4 :}$\displaystyle \int_{1}^{3}\dfrac{2}{x}\mathrm{d}x = 2\ln3$
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\textbf{Partie B}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Question 1 (Arrondir à $\mathbf{10^{-3}}$ près)}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{7cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\diagbox[innerwidth=\hsize]{ Capacité\\ fermentaire de la levure de la pâte}{Levure}&
Profil de la levure A& Profil de la levure B& Profil colonne marginal\\
\hline
Faible &0,044& 0,021& 0,033\\\hline
Moyenne&&&\\\hline
Bonne&&&\\\hline
Excellente & 0,532& 0,655& 0,590\\\hline
Total& 1 &1 &1\\\hline
\end{tabularx}
\end{document}
