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%Tapuscrit : Nicolas LINCE
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole, La Réunion}}
\rfoot{\small{9 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Métropole--La Réunion 9 juin 2016}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip

Dans la population française, la répartition des quatre groupes sanguins $A$, $B$, $AB$ et $O$ est la suivante:

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm} A : 45\,\% & B: 10\,\% & AB: 3\,\% & O : 42\,\% \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

(d'après Établissement Français du Sang)

Pour chaque groupe, le sang peut posséder ou non le facteur Rhésus. Si le sang possède ce facteur, on dit que la personne est de Rhésus positif (noté $Rh^+$), sinon on dit qu'elle est de Rhésus négatif (noté $Rh^-$).

\medskip

Pour chaque groupe, dans la population française, la répartition des Rhésus est la suivante:

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textrm{Groupe}&A&B&AB&O\\
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}Rh^+&85\,\%& 84\,\%& 82\,\%& 83\,\%\\
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}Rh^-& 15\,\%& 16\,\% &18\,\%& 17\,\%\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

Par exemple, $15\,\%$ des personnes du groupe $A$ sont de Rhésus négatif ($Rh^-$).

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à  \mathversion{bold}$10^{-2}$ près.}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A - Calculs de probabilités et loi binomiale}
\end{center}

On interroge au hasard une personne de cette population.

On note :
\begin{itemize}
\item[] $O\ $ l'évènement: \og la personne est du groupe $O$\fg
\item[] $Rh^-\ $ l'événement: \og la personne est de Rhésus négatif \fg
\end{itemize}   
\begin{enumerate}
\item Une personne dont le sang est du groupe $O$ et de Rhésus négatif est appelée \textbf{donneur universel}.
	\begin{enumerate}
	\item À l'aide de l'énoncé, donner $P(O)$ et $P_O (Rh^-)$.
	\item En déduire la probabilité d'interroger un donneur universel.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant à l'ensemble des groupes sanguins.
	\begin{enumerate}
	\item Traduire la situation décrite dans l'énoncé à l'aide d'un arbre de probabilités.
	\item Calculer la probabilité d'interroger une personne de Rhésus négatif.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\emph{On admet dans la suite de cette partie que la probabilité d'être un donneur universel est de~{}\mathversion{bold}$0,07$.
}}
\end{center}

\item Lors d'une collecte de sang, $100$ étudiants se présentent pour faire un don.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de donneurs universels parmi ces $100$ étudiants. On admet que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
	\item Préciser les paramètres de cette loi.
	\item En déduire l'espérance mathématique de $X$ notée $E(X)$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\item Calculer la probabilité d'avoir au moins $4$ donneurs universels.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B - Intervalle de fluctuation et prise de décision}

\medskip

En France, on admet que la proportion $p$ de personnes de Rhésus négatif est $0,16$.

\medskip

Une enquête statistique est menée pour déterminer si la proportion de personnes de Rhésus négatif dans une certaine région française est identique à celle de la France.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de personnes de Rhésus négatif obtenue sur un échantillon de taille $200$.

\emph{On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est: $\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$}

\item Sur un échantillon aléatoire (assimilable à un tirage avec remise) de $200$ analyses de sang réalisées
dans des laboratoires de la région étudiée, on a observé $48$ personnes de Rhésus négatif.

Ce résultat nous amène-t-il à remettre en cause l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes de Rhésus négatif dans cette région est identique à celle de la France? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip

La présence de la bactérie \emph{Aeromonas hydrophila} provoque chez les grenouilles adultes la maladie \og des
membres rouges \fg{}, qui se traduit par des hémorragies et des ulcérations cutanées.

On admet que le nombre de bactéries présentes chez une grenouille atteinte par cette maladie, exprimé en milliers, peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~7]$, par 

\[f(t) = t + \text{e}^{2t+1}\]

où $t$ est le temps exprimé en heures. Les premiers symptômes apparaissent dès la présence de $8$~millions de bactéries.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $f(0)$ puis en donner une interprétation concrète dans le cadre de l'exercice.
\item Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~7]$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~7]$.
\item On écrit l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\emph{Initialisation}\\
\hspace{1cm} $t$ prend la valeur $0$\\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur $2,718$\\
\emph{Traitement} :\\
\textbf{Tant que} $y\leqslant \np{8000}$ \\
	\hspace{1.2cm}\begin{tabular}{|l}
			$t$ prend la valeur $t + 1$\\
			$y$ prend la valeur $t + \text{e}^{2t+1}$
\end{tabular}\\
	\textbf{Fin Tant que}\\
\emph{Sortie}:	\\
Afficher $t$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

La valeur affichée à la sortie de l'algorithme est $4$.

Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice?

\item Peut-on s'attendre à ce que le nombre de bactéries redevienne inférieur à 8 millions entre quatre et sept heures? Justifier votre réponse.
\item On admet que le nombre moyen de bactéries présentes, exprimé en milliers, pendant les
7 premières heures est donné par :

\[\mathsf{N} = \dfrac{1}{7} \int_0^7 f (t)\,\textrm{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $[0~;~7]$.
		\item Calculer la valeur exacte de $\mathsf{N} $.
		\item Donner une valeur approchée du nombre moyen de bactéries (arrondi à l'unité) présentes pendant les sept premières heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

\medskip
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)}.

\emph{Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.
}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

\medskip

Suite à la réalisation d'une enquête menée auprès des élèves d'un lycée agricole, on estime que le temps d'utilisation, en heures par semaine, de leur téléphone portable est une variable aléatoire $X$ distribuée suivant une loi normale dont la distribution est représentée ci-dessous.

On admet que la probabilité $P(X\leqslant 8)$, illustrée sur le graphique ci-dessous, est égale à $0,16$ (arrondie à $10^{-2}$
près).


\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=25cm,algebraic=true}
\def\xmin {1.4}   \def\xmax {18.6}
\def\ymin {-0.025} \def\ymax {0.22}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{10}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=100]{1}{19}{\f}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot{1}{8}{\f}
\psline(8,0)(1,0)
}
\psaxes[labelFontSize=\small,comma,showorigin=true,ticksize=-3pt 4pt, Dx=1, Dy=0.04,Ox=10]{->}(10,0)(\xmin,-0.025)(\xmax,0.22)
\rput(9.73,-0.015){$10$}
\rput(9.75,0.01){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer en utilisant le graphique et en justifiant votre réponse :
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un élève utilise son téléphone portable moins de $12$ heures par semaine.
		\item L'espérance de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item On admet que l'écart type $\sigma$ a de cette variable aléatoire est égal à $2$.

Des élèves de STAV ont conclu que $95\,\%$ des élèves du lycée utilisent leur portable entre $6$ heures et $14$ heures par semaine.

Cette conclusion vous semble-t-elle pertinente ? Justifier.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\vspace{0,25cm}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\medskip
\end{center}

\textbf{EXERCICE 3 : QCM}

La courbe $\mathsf{C}_f$ ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~4]$.

On appelle $\mathsf{T}$ la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathsf{C}_f$.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=1.2cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.3,-2.1)(4.3,6.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=1,showorigin=true,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(-1,-2.1)(4.3,6.3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,yunit=2.4cm](-1,-1)(5,3)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{0.0005}{4}{-2*x+ln(x)+5}

\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt]{0}{4}{-x+4}
\uput[l](3.6,-1.2){$\mathsf{C}_f$}
\uput[l](3.7,0.7){$\mathsf{T}$}
\rput(-0.14,0.12){$0$}
\rput(0.1,-0.34){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$ en $0$ est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
$\square~~$~impossible à déterminer&$\square~~ 0$\\
$\square~~-\infty$&$\square~~+\infty$
\end{tabularx}

\bigskip

\item $f'(1)$ est égal à:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\square\ ~-1$&$\square\ ~ -0,5$&~$\square\ ~3$~&$\square\ ~4$
\end{tabularx}
\bigskip

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~4]$ par: $f(x) = -2x + \ln x + 5.$

Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;4]$ est définie par:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
$\square~~F(x) = - x^2 + \ln x + 5x$ &$\square~~F(x) = - x^2 + x\ln x + 4x + 4$ \\
$\square~~F(x)=-x^2 + x\ln x$& $\square~~F(x)= - 2 + \dfrac{1}{x}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}