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%source : Christian Samson
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{ Métropole-Réunion}}
\rfoot{\small{ 15 juin 2018}}
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\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Métropole--La Réunion 11 juin 2018}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{Les annexes A, B et C sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip


L'escargot des haies (\emph{Cepaea nemoralis}) est caractérisé par une coquille de couleur jaune ou de couleur
rose. Certaines coquilles sont dépourvues de bandes, alors que d'autres sont décorées de bandes brunes
longitudinales.

Parmi ses nombreux prédateurs, on compte la grive musicienne, très friande d'escargots.

%Source: By Didier Descouens - Own work, CC BY-SA 3.0, https://
%commons. wikimedia.org/w/index.php?curid=25130251

\medskip

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une haie d'arbustes, on considère une population d'escargots:
\begin{itemize}
\item  45\,\% ont une coquille de couleur rose, les autres sont jaunes;
\item Parmi les escargots à coquilles roses, 28\,\% ont des bandes brunes.
\end{itemize}

Une grive musicienne attrape un escargot de la haie d'arbustes au hasard. On considère que cela
correspond à un prélèvement aléatoire d'un escargot parmi ceux de la haie.

On définit les événements suivants:

\begin{itemize}
\item $J$ : \og l'escargot attrapé possède une coquille jaune\fg{} ;
\item $R$ : \og l'escargot attrapé possède une coquille rose\fg{} ;
\item $B$: \og l'escargot attrapé possède une coquille pourvue de bandes brunes\fg.
\end{itemize}

Si l'escargot attrapé ne possède pas de bandes brunes, on dira dans la suite de cet exercice que sa
coquille est unie et l'on notera $\overline{B}$ cet événement.
\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation (certaines branches resteront
incomplètes).
\item Calculer la probabilité que l'escargot attrapé possède une coquille rose avec des bandes brunes.
\end{enumerate}
La moitié des escargots de la haie ont des coquilles comportant des bandes brunes.
\begin{enumerate}[resume]
\item \begin{enumerate}
\item  Justifier que $p(J \cap B)= 0,374$.
\item En déduire que $p\left(J \cap \overline{B}\right) = 0,176$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \label{unie}L'escargot attrapé par la grive est de couleur jaune. Calculer la probabilité que l'escargot ait des
bandes sur sa coquille.
\end{enumerate}

D'après les scientifiques, les escargots à coquille unie sont plus facilement repérés et donc mangés par les
grives musiciennes, alors que les escargots avec des bandes brunes souffrent plus du soleil et de la
chaleur.
	\begin{enumerate}[resume]
		\item Cette probabilité calculée en \ref{unie} est-elle cohérente avec l'affirmation des scientifiques ?

Justifier.
\begin{flushright}
\emph{Source : http://www.cndp.fr/evolution-des-especes/$\dots$/lescargot-des-haies.html}
\end{flushright}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip


Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\medskip

L'escargot petit-gris (\emph{Helix aspersa aspersa}) est apprécié par certains gastronomes. En se promenant dans
la nature, on peut en ramasser mais on ne repérera que les plus gros, les plus jeunes étant souvent trop
petits à l'\oe il nu pour être distingués.

On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout escargot petit-gris repéré par un promeneur associe le
diamètre en mm de sa coquille. On admettra que $X$ suit la loi normale de moyenne \textmu{} et d'écart type $\sigma =4$.

La courbe de Gauss associée à $X$ (ou courbe de densité de probabilité associée à $X$) est donnée en
\textbf{annexe A}.

On laissera sur le graphique tout tracé utile justifiant la démarche.

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, en expliquant la démarche, donner la valeur de \textmu .
\item On sait que $p(X\leqslant 18) = 0,023$. À l'aide de ce résultat et du graphique ou à l'aide d'une autre
méthode que vous expliquerez, déterminer $p( 18 \leqslant X \leqslant 34)$. Interpréter la valeur obtenue dans le
contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
Selon la réglementation, le petit-gris ne peut être ramassé que s'il a une coquille de \np[mm]{30}  de diamètre
minimum.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Justifier qu'environ 15,9\,\% des escargots petit-gris repérés par des promeneurs dans la nature ont la
taille qui convient pour être ramassés.
\end{enumerate}

\emph{Rappel:} Si une variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne \textmu{} et d'écart type $\sigma$,

$P(\mu-\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+\sigma) \approx 0,683; P(\mu-2\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+2\sigma) \approx  0,955; P(\mu-3\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+3\sigma) \approx 0,997$.


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6,5 points}  

\vspace{0.5cm}

\textbf{PARTIE A}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = 35 \e^{- 0,053x}$.

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f' (x)$ pour $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$.
		\item Construire le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{Annexe A}. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.
		\item Tracer $\mathcal{C}_f$ dans le repère orthogonal de l'\textbf{Annexe B}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Le hérisson européen est une espèce menacée dont l'étude de la population a été surtout menée au Royaume-Uni. Les causes de cette disparition sont le trafic automobile, ainsi que l'utilisation de certains
pesticides.

%licence cco.
La fonction $f$ étudiée dans la PARTIE A modélise l'évolution, au Royaume-Uni, du nombre de hérissons
(exprimé en millions).

Les années sont numérotées à partir de 1950 en prenant $x = 0$ pour l'année 1950, $x = 1$ pour 1951, $\dots$,
$x = 10$ pour 1960 et ainsi de suite.

\begin{enumerate}

 \item Des études statistiques britanniques démontrent que la population de hérissons est passée
d'environ 35 millions en 1950 à 1 million en 2017, au Royaume Uni.

Retrouver ces résultats à l'aide du modèle proposé dans cet exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre, par la méthode de votre choix, l'inéquation $f(x) < 10$ en donnant le résultat arrondi à
	l'unité près.
	\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dans la question 3, toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
\begin{enumerate}[resume]
 \item En ne prenant en considération que le seul critère énoncé ci-dessous et les informations suivantes,
expliquer dans quelle catégorie (vulnérable, en danger, en voie d'extinction) se situe le hérisson
européen au Royaume-Uni depuis 1950.
\end{enumerate}

L'Union Internationale pour la Conservation de la Nature (UICN) a établi plusieurs critères pour déterminer
si une espèce est menacée ou non. En simplifiant, l'un d'entre eux précise:
\begin{itemize}
\item [--] Une espèce est \og vulnérable\fg{} lorsqu'il y a réduction constatée ou modélisée des effectifs d'au
moins 30\,\% depuis 10 ans ou trois générations, selon la plus longue des deux périodes.
\item[--]Une espèce est \og en danger\fg{} lorsqu'il y a réduction constatée ou modélisée des effectifs d'au
moins 50\,\% depuis 10 ans ou trois générations, selon la plus longue des deux périodes.
\item[--]Une espèce est \og en voie d'extinction \fg{} lorsqu'il y a réduction constatée ou modélisée des effectifs
d'au moins 80\,\% depuis 10 ans ou trois générations, selon la plus longue des deux périodes.
\end{itemize}

La durée de vie d'une génération de hérissons européens est de 4 à 5 ans et dans cet exercice, on prendra
la valeur de 5 ans.
\begin{flushright}
\emph{Sources: sauvonslesherissons.fr }\\
\emph{et uicn. fr/liste-rouge-mondiale/}
\end{flushright}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (3,5 points)}  

\vspace{0.5cm}

Au 1\up{er} mars 2018, une piscicultrice possède un bassin central qui comporte 450 truites d'élevage. Elle
estime que la population augmente de 2\,\% chaque mois grâce à des lots qu'elle achète ou des transferts
entre bassins.

On modélise le nombre de truites dans le bassin central par la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est le nombre de mois
écoulés depuis le 1\up{er} mars 2018. On a donc $u_0 = 450$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_1$ et $u_2$ (résultats donnés à l'unité près).
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 450\times 1,02^n$.
\end{enumerate}
Pour des soucis de réglementation par rapport à la taille du bassin central, la piscicultrice doit transférer des
truites vers un autre bassin dès que la population dépasse 500 truites. Elle souhaite donc avoir une idée du
mois au cours duquel ce seuil sera atteint.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer, par la méthode de votre choix que vous expliquerez, la réponse concrète au problème
posé.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.5cm}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple donné en \textbf{Annexe C}, dont les questions sont
indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées
est exacte.

Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou
l'absence de réponse n'enlève pas de point.

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=95cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.002)(37,0.12)
\multido{\n=1.+1}{38}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.104)}
\multido{\n=0+0.02}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(38,\n)}
\uput[ur](0.8,0){$\scriptstyle 0$}
\psaxes[Ox=10,Dx=1,Dy=0.02]{->}(1.,0)(0,0)(38.1,0.105)
%\psaxes[xAxis=false,Oy=0,Dy=0.02,showorigin=false]{->}(1.5,0)(37.5,0.104)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.25pt,mue=17,sigma=4]{0}{38}
\uput[u](34,0){\footnotesize diamètre coquille en mm}
\end{pspicture}

\medskip

{\large Courbe de Gauss associée à $X$.}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
$x$&0&5&10&15&20&30&40&55&70\\
\hline
$f(x)$&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}


\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.14cm,yunit=0.42cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(88,40)
\multido{\n=0+2.5}{35}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](\n,-1.7)(\n,37)}
\multido{\n=-1+1}{38}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](-2,\n)(87,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-1.9)(88,37)
\uput[dl](0,0){$\scriptstyle 0$}
 \uput[dr](86,0){$x$}\uput[dr](0,37){$y$}
\end{pspicture}
\end{center} 


\newpage

\textbf{ANNEXE C (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} }  

\medskip

\textbf{Pour chaque question, entourer la réponse exacte.}

\medskip

\emph{\footnotesize remarque : l'ensemble de définition des fonctions $f$ et $g$  a été changé par rapport au texte original donnant $[0~;~+\infty[$.} 

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x) = x \ln(x)$ . La fonction dérivée $f'$ est définie
sur $]0~;~+\infty[$ par:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f '(x) = \ln(x)$ &\textbf{b.~~} $f '(x) = 1 $  &\textbf{c.~~}$f '(x) = 1+\ln(x)$& \textbf{d.~~} $ f'(x)=\ln(x)-1$.
\end{tabularx}


\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln(x)$. Une équation de la tangente à la courbe
représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \footnotesize $y=g'(1)+g(1)(x-1)$ &\textbf{b.~~} $y=\e x$&\textbf{c.~~}$0$& \textbf{d.~~} $y=x-1$.
\end{tabularx}

\item La valeur exacte de $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$ est : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln(2)$ &\textbf{b.~~} $\np{0,6931471806}$&\textbf{c.~~}$-0,5$& \textbf{d.~~} $1$.
\end{tabularx}

\item On considère l'algorithme suivant où $\dbinom{N}{K}$ est un coefficient binomial qui se lit \og $K$ parmi $N$ \fg.


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
$N$ est du type nombre entier\\
$P$ est du type nombre réel\\
$S$ est du type nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
$N$ prend la valeur 12\\
$P$ prend la valeur 0,1\\
$S$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement}\\
Pour $K$ allant de 0 à 3 faire\\
\hspace{2em}$S$ prend la valeur $S +\dbinom{N}{K}\times  P^K \times (1- P)^{N-K}$\\
Fin de Pour\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $S$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le résultat arrondi à $10^{-3}$ près de $S$ donné par l'algorithme est :


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,282$ &\textbf{b.~~} $0,974$&\textbf{c.~~}$0,999$& \textbf{d.~~} $1$.
\end{tabularx} 

\end{enumerate}







\end{document}