\documentclass[11pt,a4paper,frenchb]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STAV},
pdftitle = {STAV Métropole-Réunion septembre 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand \e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole-Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2018}}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt] Métropole-La Réunion septembre 2018}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{Les annexes A et B sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
On admet que, pour une certaine race d’élevage, la masse en kg d’un lapin en fonction de l’âge $x$ exprimé
en semaines est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par 

\[f(x) = - 4,5\e^{-0,06 x} + 4,56.\]

On désigne par $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, donnée en
\textbf{annexe~A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Aucune méthode n’est imposée pour les questions \textbf{1.a.} et \textbf{1.b.}, mais elle doit être expliquée.
\begin{enumerate}
\item  Un lapin est abattu le plus souvent à l’âge de 10 semaines. Donner sa masse à \np[g]{100}  près.
\item  L’éleveur a une commande d’un lapin de \np[kg]{3,2}. À combien de semaines se fera l’abattage ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer par le calcul la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Donner une interprétation de cette limite dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$.
\item En déduire que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item Pouvait-on s’attendre au résultat de la question \textbf{3.b.} à partir du contexte de l’exercice ?
Expliquer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $\mathbf{10^{-3}}$ près.}

\smallskip

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de tartes aux pommes, indique sur l’emballage de ses
produits, la mention \og au moins 50\,\% de fruits bio\fg.

Une étude statistique a établi que :

38\,\% des fruits livrés à l’entreprise sont \og bio\fg.

Parmi les fruits \og bio \fg, 95\,\% sont sélectionnés pour la fabrication des tartes.

Parmi les fruits \og non bio \fg, 45\,\% sont sélectionnés pour la fabrication des tartes.
\medskip

\textbf{Partie A}

On prélève dans le stock de l’entreprise un fruit au hasard, on note :
\begin{itemize}
\item[]$B$ l’événement : \og le fruit est bio \fg.
\item[] $S$ l’événement : \og le fruit est sélectionné pour la fabrication des tartes \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
\item Déterminer la probabilité que le fruit soit \og bio \fg{} et sélectionné pour la fabrication des tartes.
\item Montrer que $P(S) = 0,64$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que le fruit choisi soit \og bio\fg{} sachant qu’il est sélectionné pour la
fabrication des tartes.
		\item Cette probabilité est-elle en accord avec la mention indiquée sur l’emballage des tartes \og au
moins 50\,\% de fruits bio \fg{} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s’intéresse à la masse en grammes des tartes fabriquées.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tarte prélevée au hasard dans la chaîne de
fabrication, associe sa masse exprimée en grammes.

On admet que $X$ est distribué suivant la loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un premier temps, l’entreprise ne commercialise que les tartes dont la masse est comprise
entre $496$ et $504$ grammes.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $P(X \leqslant 496) = 0,159$. Hachurer l’aire correspondant à cette probabilité sur le
graphique donné en \textbf{annexe B, à rendre avec la copie}.
		\item Déterminer $P(496 \leqslant X \leqslant 504)$ , et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\item L’entreprise se rend compte qu’elle rejette trop de tartes. Elle décide d’assouplir ses règles de
commercialisation et accepte à présent les tartes dont la masse est comprise entre $492$ et $508$
grammes.

Déterminer la probabilité que la tarte soit commercialisée avec cette nouvelle règle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans la chaîne de production fonctionnant normalement, 6\,\% des tartes ne sont pas commercialisées. Le
responsable de la chaîne souhaite savoir s’il est nécessaire de procéder à un réglage de cette dernière.
Pour cela, il prélève au hasard 230 tartes. La production est suffisamment importante pour que le choix des
230 tartes puisse être assimilé à un prélèvement avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l’intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de tartes non
commercialisées obtenue sur un échantillon de taille $230$ est $[0,029~;~0,091]$.
\item Sur l’échantillon de $230$ tartes prélevées, $16$ tartes ne sont pas commercialisées.

Le responsable doit-il envisager un réglage de la chaîne de production ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip

Dans un département, on a recensé les élèves de bac STAV (filles et garçons) suivant quatre options.
\begin{itemize}
\item Option AE (Aménagement et Environnement)
\item Option T (Transformation)
\item Option STE (Sciences et technologies des équipements)
\item Option SMR (Services en milieu rural)
\end{itemize}
Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves en fonction de l’option choisie :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering\arraybackslash \small}X|}}\hline
\diagbox[width=3cm]{Sexe}{Option}	&AE &T	&STE&SMR&Total\\\hline %,trim=l
Fille 								&39	&17	&34 &54	&144\\\hline
Garçon 								&42	&28	&45	&10	& 125\\\hline
Total								&81	&45	&79	&64	&269\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans le tableau donné en \textbf{annexe B}, expliquer comment on a obtenu la valeur 0,57.
\item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe B, à rendre avec la copie}.
\item Exploiter les résultats obtenus pour déterminer s’il y a dépendance ou indépendance entre l’option
choisie et le sexe des élèves. Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

\medskip

\textbf{ VRAI ou FAUX}
 
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.

Pour chacune des affirmations, préciser si elles sont vraies ou fausses. Justifier la réponse.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de
point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $( u_n )$  définie par   $u_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$,

$u_{n +1} =0,9 u_n$.

Ci-dessous un même algorithme est programmé à l’aide de deux calculatrices différentes :

\begin{tabular}[]{|l|m{3cm}|l|}
\multicolumn{1}{l}{Calculatrice 1}&\multicolumn{1}{l}{} &\multicolumn{1}{l}{Calculatrice 2}\\
\cline{1-1} \cline{3-3}
PROGRAM: ALGO&&=====ALGO\\
:$10\rightarrow U$&&$10\rightarrow U$:$0\rightarrow N $\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:$0\rightarrow N$&& While $U>5$ \rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:While $U>5$&&$0.9U\rightarrow U$\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:$0.9*U\rightarrow U$&&$N+1\rightarrow N$\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:$N+1\rightarrow N$&&WhileEnd\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:End&&$N$\\
:Disp $N$&&\\
\cline{1-1} \cline{3-3}
\end{tabular}

\smallskip

(N est la valeur affichée lorsque le programme a été exécuté.)

On lance le programme de la calculatrice une fois. $N$ est alors affiché.

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 }:

Pour cette valeur de $N$ ,    $u_N >5$.

\item On note  $C_f$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère \Oij

\textbf{Affirmation 2 }:

L’équation de la tangente à  $C_f$ au point d’abscisse 1 est : $y = x -1$.

\item Une urne contient 13 boules noires et 7 boules blanches. On procède à un tirage avec remise de
5 boules. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches extraites lors de ces
5 tirages.

\textbf{Affirmation 3 }:

$P(X = 3) < P(X = 4)$

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1}}
 
 \vspace{1.25cm}
 \begin{center}
Courbe représentative de la fonction $f$
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(0,00)(47,5)
 \multido{\n=0+1}{48}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.7)}
  \multido{\n=0+0.1}{48}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(47.0,\n)}
  \psaxes[linewidth=0.95pt,,Dy=0.5]{->}(0,0)(47,4.8)
   \def\Func{2.71828 x 0.06 neg mul  exp 4.5 neg mul 4.56 add}
   %\def\Func{x 0.06 mul neg    2.71828 exp 4.5 neg mul 4.56 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{47}{\Func}
  \uput[u](42,0){ Nombre de semaines}
   \uput[d](45,4.2){\blue $\displaystyle C_f$}
  \uput[ur](0,4.5){masse du lapin en kg} 

\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 :}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=49.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-10.5,-0.002)(13,0.13)
\multido{\n=-10+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-11,\n)(12.5,\n)}
\uput[d](0,-0.005){$\scriptstyle 500$}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Ox=500,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-11,-0.005)(12.3,0.13)
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=0,sigma=4]{-11}{12}
\end{pspicture}

\vspace{3cm}

\textbf{EXERCICE 3 :}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}p{1.5cm}|}}\hline
\diagbox[height=4\line]{Sexe}{~\\Option}& \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\AE} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\T}& \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\STE} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\SMR} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\marginal}\\
\hline
Fille& &0,38& 0,43& &0,54\\\hline
Garçon& &0,62& 0,57& &0,46\\\hline
Total& 1& 1 &1& 1& 1\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}