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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Françoise Poirier pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Nouvelle--Calédonie novembre 2010}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Dans un restaurant, pendant le service du midi, on a interrogé les clients pour savoir s'ils avaient accompagné leur plat principal d'une entrée et/ou d'un dessert.
 
On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 80\,\% des personnes interrogées n'ont pas pris d'entrée ; 
\item[$\bullet~$] Parmi celles-ci, 70\,\% ont pris un dessert ; 
\item[$\bullet~$] 50\,\% des personnes ayant pris une entrée ont également pris un dessert.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On appelle E l'évènement : \og la personne a pris une entrée \fg{} 

et D l'évènement: \og la personne a pris un dessert \fg. 

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
 
\emph{Les probabilités seront données sous forme décimale et notées sur les branches de l'arbre.} 
\item Calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait pris une entrée et un dessert. 
\item Calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait pris un dessert. 
\item On interroge une personne ayant pris un dessert. Calculer la probabilité qu'elle ait également pris une entrée. \emph{Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près}. 
\item Les évènements E et D sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, les résultats numériques seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

On admet que 10\,\% des clients qui mangent dans le restaurant prennent un menu complet: \og entrée -- plat -- dessert \fg. On choisit au hasard 20~clients pour les interroger. On admet que ce choix est assimilable à des tirages successifs avec remise. On appelle X la variable aléatoire indiquant le nombre de personnes ayant pris un menu complet.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la loi de probabilité de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item \og Aucun des 20 clients interrogés n'a pris un menu complet\fg{} ; 
		\item \og 5 clients exactement ont pris un menu complet\fg{} ; 
		\item \og Au moins un client a pris un menu complet \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe A (à compléter et à rendre avec la copie), est la représentation graphique  dans un repère orthogonal \Oij, d'une fonction $f$ dérivable sur $]0~;~+ \infty[$.
 
La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1. 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner :
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{ x \to 0\\x > 0}} f(x)$. 
		\item $f(1)$.
	\end{enumerate} 
\item  Par lecture graphique, en expliquant votre démarche, déterminer: 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(1)$. 
		\item Une équation de la tangente $T$.
	\end{enumerate}		 
\item  On admet que $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = ax^2 \ln x,~ \text{o˘ \og a \fg~ est un nombre réel.}\] 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$. 
		\item En déduire, à l'aide de la question 2. a., la valeur du nombre réel $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip 

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$, ensemble des nombres réels, par 

\[g(x) = (-2x + 1)\text{e}^{- x + 1}.\]

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;
\item 1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$. 
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) =  0$. Interpréter graphiquement ce résultat.  
\item  Démontrer que $g'(x) = (2x - 3)\text{e}^{- x + 1}$ pour tout $x$ réel. 
\item  Justifier que $g'(x)$ est du signe de $(2x - 3)$ sur $\R$. 

Dresser le tableau de variations de $g$ ; on indiquera la valeur exacte de $g\left(\dfrac{3}{2}\right)$ 
\item Compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ donné en \textbf{annexe A}. 
\item Construire la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et sa tangente au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$. 

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)} 

\vspace{2 cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2}\end{flushleft}

\bigskip

\textbf{Représentation graphique de} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\psset{xunit=4.4cm,yunit=0.44cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-20)(2.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,-20)(2.5,10)
\multido{\n=0.0+0.5}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-20)(\n,10)}
\multido{\n=-20+5}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{2.235}{x dup mul x ln mul 5 neg mul}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{5  5 x mul sub}\uput[u](1.8,-4){$T$}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3}

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.75} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& $-0,7$	&$-0,5$	&0	&1 	&1,5	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$g(x)$	&			&		&	&	&		&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 	
\end{document}