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%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{correction \hspace{3mm}Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\novembre 2011 Nouvelle-Calédonie}\hspace{3mm}correction}

\textbf{Les annexes A et B sont à rendre avec la copie} 

\bigskip
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 1 QCM\hfill 4 points}

\medskip

Les réponses au QCM sont données sur l'\textbf{annexe A }. 

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
 
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée sera zéro.

\medskip
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]-1~;~5]$ par : 

\[g(x) = 3\ln (x + 1) - \ln (x + 2)\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormal \Oij. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la limite de $g$ en $- 1$. 
\[\displaystyle \lim_{x\to -1}g(x)=-\infty\] 
En effet, $\displaystyle \lim_{x\to -1}\ln(x+1)=-\infty$  car $\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to -1}\ln(x+2)=0$.

La droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe.
		\item Déterminons la fonction $g^\prime$, fonction dérivée de $g$, pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~5]$.
\[g^{\prime}(x)=3\times \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{3(x + 2)-(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)}=\dfrac{2x + 5}{(x + 1)(x + 2)}\] 
		\item 	Pour tout $x \in]-1 ~;~5]\quad x+1 >0,\quad 2x + 5 > 0 \ \text{et }\  x + 2 > 0$.

 par conséquent $g^{\prime}(x)$ est positif (strictement) pour tout $x$ de l'intervalle $]-1~;~5]$.
		\item Dressons le tableau de variations de $g$ sur $]-1~;~5]$.
		
Si pour tout $x \in I, \,f^{\prime}(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

  $g^{\prime}(x) > 0$ pour $x \in]-1~;~5]$ donc $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-1$}      \uput[u](7.75,2.45){$5$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](4.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.37,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.2,1.95){$3\ln 6-\ln 7 $}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
 $g(5)=3\ln 6-\ln 7$.
	\end{enumerate} 
\item L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$ 

$g(0)= -\ln 2 \quad g^\prime (0)=\frac{5}{2}$

Une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$ est $y=\frac{5}{2}x-\ln 2$.  
\item  Le tableau de valeurs est complété sur l'annexe B.
\item Traçons la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$ dans un repère orthonormal. %On prendra pour unité graphique 2cm sur chacun des axes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Une usine fabrique et remplit des bocaux de confiture. Sur un lot de 20 bocaux, on observe 4 bocaux mal fermés.
 
On prélève au hasard simultanément 3 bocaux dans le lot. 

\begin{enumerate}
\item Déterminons le nombre de prélèvements possibles.  

  Nous choisissons   3 bocaux parmi les 20 . $\dbinom{20}{3}=\dfrac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2\times 1}=\np{1140}$
  
 Il y a \np{1140} prélèvements possibles.
 
\emph{Dans la suite de l'exercice, les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions.} 
\item  L'univers est l'ensemble des prélèvements possibles et la loi sur cet univers est l'équiprobabilité. Calculons la probabilité des événements :

	\begin{enumerate}
		\item A : \og Aucun bocal n'est mal fermé \fg{} ; Nous choisissons 3 bocaux parmi les 16 bien fermés $\dbinom{16}{3}= 560$ 
		
		$p(A)=\dfrac{560}{\np{1140}}=\dfrac{28}{57}$
		
		\item B : \og Deux bocaux sont mal fermés \fg{} ; Nous choisissons 2 bocaux parmi les 4 qui sont mal fermés et 1 parmi les 16 bien fermés. Le nombre de prélèvements favorables est $\dbinom{3}{2}\times \dbinom{16}{1}=96 $
		
		$p(B)=\dfrac{96}{\np{1140}}=\dfrac{8}{95}$
		
		\item C : \og Au moins deux bocaux sont mal fermés \fg. ceci correspond à l'évènement B ou à l'événement \og les trois bocaux sont mal fermés. \fg{} Il y a 4 choix possibles pour prélever 3 bocaux mal fermés. Les événements étant incompatibles, le nombre d'événements favorables à \og au moins deux bocaux sont mal fermés \fg{} est $96+4=100$.
		
		$p(C)=\dfrac{100}{\np{1140}}=\dfrac{5}{57}$
				
	\end{enumerate} 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bocaux mal fermés parmi les 3 bocaux prélevés. 
	\begin{enumerate}
		\item  La loi de probabilité de la variable $X$ est donnée sur  le tableau complété sur l'annexe B. % (à rendre avec la copie). 
		\item Calculons E($X$). 
		\[ \text{E}(X)=0\times \dfrac{560}{\np{1140}}+ 1 \times \dfrac{480}{\np{1140}}+ 2 \times \dfrac{96}{\np{1140}}+ 3 \times \dfrac{4}{\np{1140}}=\dfrac{3}{5}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1.5cm}
%\newpage 
\begin{center} \textbf{ANNEXE A  } \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1 : QCM}

\medskip
 
Pour chaque question cocher la bonne réponse.
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient 3 jetons rouges et 7 jetons verts indiscernables au toucher. On tire au hasard 3 jetons de cette urne, successivement avec remise. On considère l'événement $A$ \og n'obtenir aucun jeton vert \fg.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$~~}X}} 
$p(A) = \dfrac{1}{120}$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$p(A) = \dfrac{27}{1000}$&$p(A) = \dfrac{343}{1000}$\\
\end{tabularx}
{\small La probabilité de tirer un jeton rouge au premier, au deuxième et  troisième essai est à chaque fois }$\frac{3}{10}$

\medskip

\item Soient $A$ et $B$ deux événements tels que: $p(A) = 0,4, \:\:	p(B) = 0,1,\:\: p_{B}(A) = 0,3$.
  
$\Box$~ \hspace{-3.5mm}\ding{52}~Les événements A et B ne sont pas indépendants. En effet, $p(A)\not=p_{B}(A)$
 
$\Box$~~Les évènements sont incompatibles
 
$\Box$~~$p(A \cap B) = 0,04$ 

\item On considère ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 2. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-1)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot{-3}{6}{2 0.5 x mul sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1.90}{7}{2.71828  1  0.5  x  mul sub exp}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](-1.6,6){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](-2,3){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement on lit que

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$~~}X}}  
\hspace{-3.5mm}\ding{52} $f^{\prime}(2) = - \dfrac{1}{2}$&$f^{\prime}(2) = 2$&$f^{\prime}(2) = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1 a pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$~~}X}}   
$y = \text{e}^x$&$y = 3$& \hspace{-3.5mm}\ding{52}$y = \text{e}x$
\end{tabularx}
 $y=f^\prime(1)(x-1)+f(1)\quad f(1)=\text{e}\quad f'(1)=\text{e}\quad y=\text{e}x-\text{e}+\text{e}$

\medskip 
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
%\newpage 
\begin{center} \textbf{ANNEXE B  } \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 2} 

\bigskip
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 0,75$	&$- 0,5$	& $0$	& 1 	&2 	&3 	&4 	&5\\ \hline
$g(x)$	&$-4,4$		&$-2,5$		&$0,7$	&	$1,0$	&$1,9$	&$2,5$	&$3,0$	&$3,4$\\ \hline
\end{tabularx}
\emph{Les résultats sont arrondis à $10^{- 1}$ près}.
\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ 		&$0$						& 1 	&2 	&3\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(X = x)$	&$\dfrac{560}{\np{1140}}$	&$\dfrac{480}{\np{1140}}$&$\dfrac{96}{\np{1140}}$&$\dfrac{4}{\np{1140}}$\\ \hline
\end{tabularx} 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-4.5)(5.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.2,-6)(5.5,4)
\multido{\n=-1+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-6)(\n,4)}
\multido{\n=-6+.5}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-1.2,\n)(5.5,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0.5,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot{-1}{1.85}{2.5 x mul 2 ln sub}\psline(-1,-6)(-1,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-0.858}{5}{3 1 x add ln mul 2 x add ln sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](4.75,3){$\mathcal{C}_{g}$}\uput[dl](-0.75,-3){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}



 \end{document} 