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%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright et du Vivant \\novembre 2011 Nouvelle-Calédonie}}

\textbf{Les annexes A et B sont à rendre avec la copie} 

\bigskip
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 QCM \hfill 4 points}

\medskip

Le QCM est donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}. 

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
 
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée sera zéro.

\medskip
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]-1~;~5]$ par : 

\[g(x) = 3\ln (x + 1) - \ln (x + 2)\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormal \Oij. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $- 1$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item Démontrer que $g^{\prime}(x) = \dfrac{2x + 5}{(x + 1)(x + 2)}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~5]$.  
		\item Prouver que $g^{\prime}(x)$ est positif pour tout $x$ de l'intervalle $]-1~;~5]$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]-1~;~5]$. On donnera la valeur exacte de $g(5)$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$. 
\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe B (à rendre avec la copie).
 
\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{- 1}$ près}. 
\item Construire la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$ dans un repère orthonormal. On prendra pour unité graphique 2cm sur chacun des axes. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Une usine fabrique et remplit des bocaux de confiture. Sur un lot de 20 bocaux, on observe 4 bocaux mal fermés.
 
On prélève au hasard simultanément 3 bocaux dans le lot. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'il y a \np{1140} prélèvements possibles.
 
\emph{Dans la suite de l'exercice, les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions.} 
\item Calculer la probabilité des évènements : 

	\begin{enumerate}
		\item A: \og Aucun bocal n'est mal fermé \fg{} ; 
		\item B: \og Deux bocaux sont mal fermés \fg{} ; 
		\item C: \og Au moins deux bocaux sont mal fermés \fg.
	\end{enumerate} 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bocaux mal fermés parmi les 3 bocaux prélevés. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de la variable $X$ en complétant le tableau donné en annexe B (à rendre avec la copie). 
		\item Calculer E($X$). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center} \textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie) } \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1 : QCM}

\medskip
 
Pour chaque question cocher la bonne réponse.
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient 3 jetons rouges et 7 jetons verts indiscernables au toucher. On tire au hasard 3 jetons de cette urne, successivement avec remise. On considère l'évènement $A$ \og n'obtenir aucun jeton vert \fg.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$~~}X}} 
$p(A) = \dfrac{1}{120}$&$p(A) = \dfrac{27}{1000}$&$p(A) = \dfrac{343}{1000}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que: $p(A) = 0,4, \:\:	p(B) = 0,1,\:\: p_{B}(A) = 0,3$.
  
$\Box$~~Les évènements A et B ne sont pas indépendants
 
$\Box$~~Les évènements sont incompatibles
 
$\Box$~~$p(A \cap B) = 0,04$ 

\item On considère ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 2. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-1)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot{-3}{6}{2 0.5 x mul sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1.90}{7}{2.71828  1  0.5  x  mul sub exp}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](-1.6,6){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](-2,3){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement on lit que

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$~~}X}}  
$f^{\prime}(2) = - \dfrac{1}{2}$&$f^{\prime}(2) = 2$&$f^{\prime}(2) = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1 a pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\Box$~~}X}}   
$y = \text{e}^x$&$y = 3$& $y = \text{e}x$
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center} \textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie) } \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 2} 

\bigskip
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 0,75$	&$- 0,5$	& $0$	& 1 	&2 	&3 	&4 	&5\\ \hline
$g(x)$	&			&			&		&		&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ 		&$0$						& 1 	&2 	&3\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(X = x)$	&$\dfrac{560}{\np{1140}}$	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx} 
 \end{document} 