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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole--Antilles--La Réunion session juin 2008 }}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Le tableau suivant donne, pour un lycée, la répartition des effectifs suivant deux critères : le sexe et l'appartenance
à la section sportive du lycée :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Élèves membres de la section sportive&…lèves  non membres de la section sportive&Total \\ \hline
Filles 	&100&300&400  \\ \hline
Garçons	&200&400&600  \\ \hline
Total	&300&700&\np{1000}  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On choisit un élève au hasard dans ce lycée et on note F, G et S les évènements suivants :

F : l'élève est une fille ;

G : l'élève est un garçon ;

S : l'élève est membre de la section sportive.

\medskip

\textbf{Partie A : QCM}

\medskip

Le QCM est donné en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie).

\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte $1$~point. Une réponse inexacte
enlève $0,5$~point. L'absence de réponse n'enlève pas et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la
note attribuée à cette partie sera zéro.}

\textbf{Cocher} pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Les probabilités demandées seront arrondies à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.}

On souhaite constituer une délégation de $10$~élèves. Le choix des $10$~élèves est assimilé à des tirages successifs
indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'élèves membre de la section sportive dans cette délégation.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres : \mbox{$n = 10$} et $p = 0,3$.
\item  Déterminer la probabilité d'obtenir dans la délégation exactement $5$~membres de la section sportive.
\item  Déterminer la probabilité d'obtenir dans la délégation au moins un membre de la section sportive.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2} 
 
\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée dans le document représente une fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par une expression de la
forme 

\[f ( x) = - \text{e}^{2x}  + a\text{e}^{x} + b\]

 où $a$ et $b$ sont deux réels. (T) est la tangente à la courbe représentative de $f$ au point
d'abscisse $0$.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  En explicitant votre démarche, donner par lecture graphique : $f(0)$ et $f'(0)$.
\item  Déterminer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- \infty~;~2]$.
\item  En utilisant les deux questions précédentes, déterminer les réels $a$ et $b$. En déduire l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par :

\[f(x) = - \text{e}^{2x} + 8\text{e}^{x} - 6.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
\item  Calculer $f^{\prime}(x)$, puis montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]- \infty~;~2]$ on a : $f^{\prime}(x) = \text{e}^{x}\left(8 - 2\text{e}^{x}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $]- \infty~;~2]$ l'équation $f'(x) = 0$.
		\item  Justifier que $f^{\prime}(x)$ est du signe de $8 - 2\text{e}^{x}$ pour tout $x$ de $]- \infty~;~2]$.
		\item  Résoudre dans $]- \infty~;~2]$ l'inéquation $8 - 2\text{e}^{x} > 0$.
		\item  En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]- \infty~;~2]$. On y indiquera les valeurs exactes de $f(\ln 4)$ et de
$f(2)$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $F(x)$ o˘ $F$ est une primitive de $f$ sur $]- \infty~;~2]$.
		\item  Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par l'axe des
abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{Représentation graphique de} \boldmath $f$ \unboldmath

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(2,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(-5,-7)(2,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(2,11)
\psline(-1,-5)(1,7) \uput[dr](0,0){O} \uput[l](-1,-4.8){(T)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-5}{2}{2.71828 x exp 8 mul 6 sub 2.71828 x 2 mul exp sub}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe A}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}\textbf{Partie A : QCM}\end{center}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes cocher la réponse qui convient :

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir une fille membre de la section sportive est :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{10}$\\
\end{tabularx}\]

\item On interroge une fille.

La probabilité qu'elle soit non membre de la section sportive est égale \`a :


\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$0,75$&$\dfrac{3}{7}$&$0,3$\\
\end{tabularx}\]

\item $p_{\text{S}}(\text{G})$ est égale \`a :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{1}{5}$\\
\end{tabularx}\]

\item $p(\text{S} \cup \text{F})$ est égale \`a :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}
$0,7$&$0,6$&$0,1$\\
\end{tabularx}\]

\end{enumerate}
\end{document}