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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole--La Réunion septembre 2008 }}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

La fonction g définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x\text{e}^{-x}\]

 est représentée dans le document joint.
 
(T) est la tangente à la représentation graphique de $g$ au point d'abscisse $1$.
 
Par lecture graphique, en justifiant votre réponse :
 
\begin{enumerate}
\item  Donner $g(1)$ et $g^{\prime}(1)$.
\item  Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $g(x) < 3$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{-x} + 3\ln x.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm sur chacun des axes.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis montrer que 
		
\mbox{$f^{\prime}(x) = \dfrac{3 - g(x)}{x}$} o˘ $g$ est la
fonction étudiée dans la partie A.
		\item  En utilisant la partie A, déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$  sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ en précisant les limites.
 	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeur donné en annexe. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.
\item Construire la courbe représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = x\ln x - x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $H$ est une primitive de la fonction ln sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item Calculer, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_{f}$,  l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. En déduire la valeur arrondie de cette aire en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Dans plusieurs lycées, on recense le nombre d'élèves inscrits en STAV en septembre 2006. Chaque élève a choisi un seul EIL (enseignement d'initiative locale) parmi trois :

aménagement (A), transformation (T) et services (S).

On dénombre $200$~élèves parmi lesquels $120$~filles.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 60\:\% des élèves sont inscrits en EIL aménagement
\item[$\bullet~$] 20\:\% des élèves sont inscrits en EIL transformation
\item[$\bullet~$] 12 filles sont inscrites en EIL transformation
\item[$\bullet~$] 70\:\% des élèves inscrits en EIL aménagement sont des filles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item T l'évènement \og être inscrit en EIL transformation \fg{} ;
\item F l'évènement \og être une fille \fg{} ;
\item S l'évènement \og être inscrit en EIL services \fg{} ; 
\item G l'évènement \og être un garçon \fg{} ;
\item A l'évènement \og être inscrit en EIL aménagement \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes. Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau donné en annexe (à rendre avec la copie).
\item  Calculer les probabilités : $p$(A), $p$(G), et $p\left(\text{A}  \cup \text{G}\right)$.
\item  Quelle est la probabilité d'être un garçon inscrit en EIL transformation ?
\item  On interroge un garçon. Quelle est la probabilité qu'il soit inscrit en EIL aménagement ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

On s'intéresse aux $12$~filles inscrites en EIL transformation parmi lesquelles $3$ sont internes. On veut constituer un groupe de $4$~élèves choisi au hasard parmi ces $12$~filles pour représenter ces lycées dans une assemblée.

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'il y a 495 groupes possibles.
\item  On appelle $X$ la variable aléatoire désignant le nombre d'internes parmi les $4$ élèves choisis.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser les valeurs prises par $X$.
		\item  Calculer $p(X = 1)$.
		\item  Donner la loi de probabilité de $X$ et compléter le tableau donné en annexe.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT : exercice 1}

\medskip

\textbf{Représentation graphique de} \boldmath $g$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=15cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,0.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](-1,-0.1)(6,0.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-1,-0.1)(6,0.4)
\multido{\n=-0.1+0.1}{6}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-1,\n)(6,\n)}
\multido{\n=-1+1}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,0.4)}
%\multido{\n=-0.1+0.1}{6}{\uput[l](0,\n){\n}}
\psline{<->}(0,0.3679)(2,0.3679)\uput[l](0,0.3679){$\dfrac{1}{\text{e}}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0.01}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}


\bigskip

\textbf{ANNEXE}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$0,5$	&1	&2	&3	&4	&5	\\ \hline
$f(x)$	&		&	&	&	&	&  	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\textbf{Partie A} Tableau à compléter

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Sexe}{EIL}&T&A&S&Total\\ \hline
F		&	&	&	&  \\ \hline
G		&	&	&	&  \\ \hline
Total	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Loi de probabilité de $X$

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Valeurs de $X$	&	&	&	&  \\ \hline
Probabilités 	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\end{document}