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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small correction \hspace{3mm}Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion juin 2010}\hspace{3mm} Correction}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions.}

\medskip
 
Sur l'étagère d'un magasin, il y a 20~paquets de sucre cristallisé parmi lesquels 4 ont un poids insuffisant. Une cliente, désireuse de faire des confitures, prend au hasard 3~paquets de sucre sur cette étagère.
 
\begin{enumerate}
\item Elle  a \np{1140} choix possibles. Nous choisissons 3 paquets parmi 20 soit $\dbinom{20}{3}= \np{1140}$.
 
\item Calculons les probabilités des événements suivants :

\begin{description}
\item[ ] A : \og Les 3 paquets ont un poids satisfaisant \fg. 

Elle choisit 3 paquets parmi les 16 qui ont un poids satisfaisant $\binom{16}{3}=\np{560}$. Par conséquent \[p(\text{A})=\dfrac{560}{\np{1140}}=\dfrac{28}{57}\]
 
\item[ ] B : \og Au moins l'un des 3 paquets a un poids insuffisant \fg. 

A est l'événement contraire de B par conséquent $p(\text{B})=1-p(\text{A})$ \[P(\text{B})=1-\dfrac{28}{57}=\dfrac{29}{57}\]
\end{description}
 
\item Soit X la variable aléatoire égale au nombre de paquets ayant un poids satisfaisant parmi les trois 
paquets achetés. 
	\begin{enumerate}
		\item Les valeurs prises par X sont 0, 1, 2 ou 3. 
		\item Déterminons la loi de probabilité de X. 
			\begin{description}
			\item [X=0] les trois paquets ont un poids insuffisant : $\dfrac{\binom{4}{3}}{\np{1140}}= \dfrac{1}{285}$.
			\item [X=1]  1 paquet a un poids satisfaisant et deux, un poids insuffisant : $\dfrac{\binom{16}{1}\times \binom{4}{2}}{\np{1140}}=\dfrac{8}{95}$.
			\item [X=2] 2 paquets ont un poids satisfaisant et un, un poids insuffisant : $\dfrac{\binom{16}{2}\times \binom{4}{1}}{\np{1140}}=\dfrac{8}{19}$.
			\item [X=3] les trois paquets ont un poids satisfaisant : $\dfrac{28}{57}$.		
			\end{description}
		\item Calculons l'espérance de X.
		\[\text{E}(X)=0 \times \dfrac{1}{285}+1 \times \dfrac{8}{95}+ 2 \times \dfrac{8}{19}+3 \times \dfrac{28}{57}=\dfrac{12}{5}\]
			\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 QCM \hfill 4 points}

\medskip 

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée dans le document 1 représente une fonction $f$ dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$.
 
La droite $D$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ en $- \infty$ et tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$. 

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
 
Les courbes 1, 2 et 3 représentent trois fonctions définies sur $\R$. 

Le QCM est donné en \textbf{annexe A}. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

 
%\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip 

Soient la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 4x - 1 + \dfrac{4}{x + 2}\]

et $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal \Oij. 

\pagebreak

On prendra pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  3 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 
\item  1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la limite en $-2$ de $g$ 
\[\displaystyle \lim_{x \to -2}g(x)=\lim_{x \to -2}4x-1+\lim _{x \to -2}\dfrac{4}{x+2}=(-9)+(+\infty) = +\infty.\]
 Par conséquent, la droite d'équation $x=-2$ est asymptote à la courbe représentative de $g$. 
		\item Déterminons la limite en $+ \infty$ de $g$. 
		\[\displaystyle \lim_{x \to +\infty}g(x)=\lim_{x \to +\infty}4x-1+\lim _{x \to  +\infty}\dfrac{4}{x+2}=+\infty +0= +\infty.\] 
		{\emph{\scriptsize Nous pouvons remarquer que la droite d'équation $y=4x-1$ est asymptote à $\mathcal{C}_g$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.}}
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $g'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$.\[
		g^\prime(x)=4-4\times \dfrac{1}{(x+2)^2}=\dfrac{4(x+2)^2-4}{(x+2)^2}=\dfrac{4\left((x+2)^2-1\right)}{(x+2)^2}=\dfrac{4(x+2+1)(x+2-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{4(x+3)(x+1)}{(x+2)^2}\]
or $(2x + 2)(2x + 6)=\left(2(x+1)\right)\left(2(x+3)\right)=4(x+1)(x+3)$.
 Par conséquent  $g'(x) =\dfrac{(2x+6)(2x+2)}{(x+2)^2} $.		
 		\item  $g'(x)$ est du signe de $(2x + 2)$ sur $]- 2~;~+ \infty[$, car $\dfrac{2(x+3)}{(x+2)^2}>0$ sur cet intervalle.
 		
 		$2x+2>0$ si et seulement si $x>-1$.
 		
 		par conséquent si $-2<x <-1, \quad g'(x)<0$ et si $x>-1,\quad g^\prime(x)>0$.
 		\item  Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
		
$g'(x)>0$  sur $]-1~;~+\infty [$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

$g'(x)<0$ sur $]-2~;~-1[$ par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $g$ sur $]-2~;~+\infty [$. 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-2$} \uput[u](4.5,2.45) {$-1$}    \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.37,1.98){$+\infty$}\uput[d](7.62,1.98){$+\infty $}
\psline{->}(1.5,1.55)(3.77,0.35)\psline{->}(5.17,0.35)(7.7,1.55)
\uput[u](4.5,0.05){$-1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip
$g(-1)= 4(-1)-1+\dfrac{4}{-1+2}=-5-4=-1$
\end{enumerate}
		\item Déterminons une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$. 

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est  $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$.

 $g(0)=1 \quad g^\prime (0)=4-\frac{4}{(0+2)^2}=3$.

Une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$ est $y=3x+1$.  

	
  
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Le tableau de valeurs est complété  sur l'annexe A.
 
		\item La courbe $\mathcal{C}_{g}$, la tangente $T$ et les asymptotes d'équations $x=-2$ ou $y=4x-1$  sont tracées ci-dessous .
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par $H(x) = \ln (x + 2)$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $H'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$.

 $H^\prime(x)=\dfrac{1}{x+2}$ car la fonction dérivée de $\ln \circ u$ est $\dfrac{u^\prime}{u}$
		\item Déterminons une primitive $G$ de $g$ sur $]- 2~;~+ \infty[$. 
	\[G(x)=2x^2-x+4\ln(x+2)+\text{C}^{\text{te}}\]	
				\item Calculons
 la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$.
		\[\mathcal{A}=\displaystyle \int_{0}^{2}g(x)\mathrm{d}x=G(2)-G(0)=8 - 2 + 4\ln (4)-4\ln 2 = 6 + 4\ln 2\]
		
en effet	$4\ln 4-4\ln 2=4(\ln 4-\ln 2)= 4\left(\ln\left(\frac{4}{2}\right)\right)= 4\ln 2$.	
		
L'unité d'aire a pour  valeur 3\,cm$^2$, la valeur de  $ \mathcal{A} $ est approximativement de \np{26.32}~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=1cm,comma=true,labelsep=0.1pt}

\begin{pspicture}(-2,-3)(3.5,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-2)(3.6,15.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-2.5,-2)(3.4,15)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.828427}{3.5}{ 4 x mul 1 sub 4 x 2 add div add}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=red,linewidth=1.25pt] {-1}{3.5}{ 3 x mul 1 add}
\uput[u](-1.9,9.25){$\mathcal{C}_g$} \uput[ul](2.29,7.16){(T)}\uput[dl](0,0){\scriptsize O}
\psline[linecolor=green](-2,-2)(-2,15)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=green,linewidth=0.7pt]{-0.25}{3.5}{4 x mul 1 sub}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=lightgray](0,0)(0,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{2}{ 4 x mul 1 sub 4 x 2 add div add}
\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=lightgray](2,8)(2,0)
}
\uput[u](1.25,2){{\huge\textcolor{red}{$\mathcal{A}$}}}
\rput(3.55,-0.2){$x$}\rput(-0.1,15.1){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE A }%(\`a compléter et \`a rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}


\textbf{Exercice 2 : QCM}

\medskip

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.}

\bigskip
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
 
\textbf{Cocher}, pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$ (représentée dans le \textbf{document 1}) en $- \infty$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$- \infty$&\hspace{-3.5mm}\ding{52} 3&$+ \infty$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}  
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$y = x + 2$&$y= 2x + 1$& $y= 2x+ 2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item $f'(1)$ est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}   
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$0$&$3$&$1$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Quelle est, parmi les trois courbes données dans le document 1, celle qui représente la fonction dérivée de $f$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}  
Courbe 1& \hspace{-3.5mm}\ding{52}Courbe 2 &Courbe 3\\
\end{tabularx}

 La courbe 1 ne convient pas car le point (1~;~0) n'appartient pas à cette courbe.
 
 La courbe 3 ne convient pas car sur $]-\infty~;-1[$, la fonction dérivée est positive or $f$ est décroissante sur cet intervalle.
 
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip


\renewcommand\arraystretch{1.35}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$-1,75$& $-1,5$& $-1$ &$0$ &$0,5$ &$1$&$1,5$& $2$& $2,5$\\ \hline
$g(x)$&\np{8}&1&$-1$&1&\np{2.6}&\np{4.3}&\np{6.1}&8& \np{9.9}\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\emph{Les valeurs numériques de $g(x)$ sont arrondies à $10^{-1}$ près.} 


\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT 1}
\end{center}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-2)(2,5)
\psplot{-3}{2}{x 2 add}
\uput[dl](0,0){O}
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-6,2.9)(-4,2.7)(-3,1.6)(-1,1.5)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-1,1.5)(0,1.75)(0.25,2.35)(0.7,2.8)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.7,2.8)(1.4,4)(1.9,0)(1.95,-0.9)
\psline(-6,3)(2,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-2)(2,5)
\uput[u](-2,5){\textbf{Représentation graphique de}\boldmath $f$ \unboldmath}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}
\begin{tabular}{cc}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-5)(2,5)
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve(-6,0.01)(-4,0.17)(-2,1)(-1,2)(0,3.3)(0.75,4.2)(1,4)(2,-4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-5)(2,5)
\uput[d](-2,-5){\textbf{Courbe 1}}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-6)(2,5)
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve(-6,-0.1)(-4,-0.22)(-2.5,-0.4)(-1,0)(0,1)(0.4,1.2)(1,0)(1.5,-5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-6)(2,5)
\uput[d](-2,-6){\textbf{Courbe 2}}
\end{pspicture}\\
\end{tabular}



\vspace{1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-2)(2,6)
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve(-6,0.1)(-4,0.25)(-2.5,0.4)(-1,0)(0,-1)(0.5,-1.25)(1,0)(1.4,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-2)(2,6)
\uput[d](-2,-2){\textbf{Courbe 3}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
