\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
%\usepackage{slashbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2.7cm]{geometry}
%\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{correction \hspace{5mm}Métropole--Antilles--Guyane--Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Métropole--Antilles--Guyane--Réunion juin 2012}}

\bigskip

L'annexe A est à rendre avec la copie 
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3,5 points}

\medskip
 
Une étude statistique a été réalisée sur une population de souris de laboratoire.
 
Chaque souris de cette population a été observée afin de déceler la présence d'une certaine bactérie dans son organisme. Dans cette population de souris :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 60\,\% des souris sont des mâles; 
\item[$\bullet~~$] parmi les souris mâles, 20\,\% sont porteuses de la bactérie ; 
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des souris de la population sont des femelles porteuses de la bactérie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On prélève au hasard une souris de la population et on l'examine afin de déterminer son sexe et de détecter l'éventuelle présence de la bactérie.
 
On considère les évènements suivants : 	

$F$ : \og la souris prélevée est une femelle \fg{} ;
 
$B$ : \og la souris prélevée est porteuse de la bactérie \fg.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item A l'aide des données de l'énoncé, déterminer $P(F)$ et $P(F \cap B)$. 
		\item Calculer la probabilité qu'une souris soit porteuse de la bactérie sachant que cette souris est une femelle.
	\end{enumerate} 
\item Représenter à l'aide d'un arbre de probabilité la situation décrite ci-dessus en faisant apparaître les 
probabilités sur chaque branche. 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à $0,22$. 
\item Les évènements B et F sont-ils indépendants? Justifier votre réponse. 
\item On prélève dans la population, au hasard et successivement, 5 souris. La population est suffisamment grande pour pouvoir assimiler ces prélèvements à des tirages successifs avec remise.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de souris porteuses de la bactérie parmi les 5 souris prélevées. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,22$. 
		\item Calculer la probabilité de prélever exactement 3 souris porteuses de la bactérie (on donnera l'arrondi à $10^{- 3}$ près du résultat).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9,5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 4~;~0]$ par 

\[f(x) = x\text{e}^x + x^2 + 2x + 2.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. 

Unités graphiques : 3~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner $f(0)$ et la valeur exacte de $f(- 4)$. 
\item Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[- 4~;~0]$. 
\item Prouver que $f^{\prime}(x) = (x + 1)\left(\text{e}^x + 2\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $f^{\prime}(x)$ est du signe de $x + 1$ sur $[- 4~;~0]$. 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de $[- 4~;~0]$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[- 4~;~0]$. 
\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe A (à rendre avec la copie). 
\item Construire $\mathcal{C}_{f}$. 
\item Soit $G$ la fonction définie sur $[- 4~;~0]$ par $G(x) = (x - 1)\text{e}^x$.
 
Calculer $G^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[- 4~;~0]$. 

En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $[- 4~;~0]$. 
\item On admet que $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $[-3~;~-1]$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x =- 1$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine. 
		\item Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près en cm$^2$ de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  : QCM \hfill 4 points}

\medskip	 
 
La courbe $(C)$ donnée en document 1 est la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$. On sait que :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les points A et B sont les points de la courbe $(C)$ d'abscisses respectives $- 1$ et 0 ; 
\item[$\bullet~~$] la fonction $g$ admet un maximum en $x = - 1$ ; 
\item[$\bullet~~$] l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(C)$ en $+ \infty$ ; 
\item[$\bullet~~$] la droite (T) est tangente à la courbe $(C)$ au point B ; 
\item[$\bullet~~$] la droite (D) est tangente à la courbe $(C)$ au point A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le QCM est donné en \textbf{annexe A.}

\medskip
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
 
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève ni n'ajoute aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cet exercice sera zéro. 

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{DOCUMENT 1}}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}
 
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1.5)(5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(5,4.5)
\psline(-3,2.71828)(5,2.71828)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.15}{5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\uput[u](3.5,2.71828){D}
\psdots[dotscale=1.3](-1,2.71828)(0,2)
\uput[ul](-1,2.71828){A}\uput[ur](0,2){B}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie) }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

Les valeurs numériques de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 4$	&$- 3,5$&$- 3$	&$- 2,5$&$- 2$	&$- 1,5$&$- 1$	&$-0,5$	&0\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx} 

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3 :} QCM

\medskip
  
Pour chacune des questions suivantes, cocher la bonne réponse: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item~ 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - 3$&$\Box~~ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$&$\Box~~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$\\
\end{tabularx}

\medskip
  
\item Une équation de la tangente (T) est : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~ y = x + 2 $&$\Box~~y = - x$&$\Box~~ y = - x + 2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  L'ensemble des solutions de l'inéquation $g^{\prime}(x) \geqslant 0$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~]- \infty~;~- 1]$&$\Box~~[- 2~;~+ \infty[$&$\Box~~[0~;~+\infty[$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item L'expression de $g(x)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~g(x)= (x + 2)\text{e}^x$&$\Box~~(x + 2)\text{e}^{- x}$&$\Box~~(x - 2)\text{e}^{- x}$\\
\end{tabularx}

\medskip  
\end{enumerate}
\end{document}