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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Nouvelle--Calédonie novembre 2008 }}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Deux vaccins sont utilisés pour une même maladie. 45\,\% des enfants ont été vaccinés avec le vaccin A, les autres avec le vaccin B. 
On note A, B, L et F les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og recevoir le vaccin A \fg{} ; 
\item[] B : \og recevoir le vaccin B \fg{} ; 
\item[] L : \og avoir une réaction légère au vaccin \fg{} ; 
\item[] F : \og avoir une réaction forte au vaccin \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
30\,\% des enfants qui ont reçu le vaccin B ont eu une réaction forte.

Tous les enfants ont eu une réaction légère ou forte au vaccin.
 
Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-4}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Interpréter par une phrase la probabilité indiquée sur l'arbre donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{nodesep=1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}{
	\pstree{\TR{A}}{\Tr{L}
					\Tr{F}\tbput{$0,1$}}
	\pstree{\TR{B}}{\Tr{L}
					\Tr{F}}
}
\end{center} 

\item Compléter l'arbre, en indiquant les probabilités manquantes sur les branches. 
\item Calculer les probabilités $p(A \cap F)$ et $p(F)$. 
\item On examine un enfant ayant eu une réaction forte. Quelle est la probabilité qu'il ait reçu le vaccin A ? 
\item Les évènements $A$ et $F$ sont-ils indépendants? Justifier votre réponse. 
\item On examine 10~enfants. On assimilera cet examen à $10$~tirages indépendants.
 
On note $X$ le nombre d'enfants qui ont eu une réaction forte suite à l'un des vaccins. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,21$. 
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des enfants ait eu une réaction forte ?	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[ f(x) = 1 + 2 \dfrac{\ln(x)}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal d'unités graphiques : 1~cm pour une unité en abscisses et 4~cm pour une unité en ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En remarquant que $\dfrac{\ln(x)}{x} = \dfrac{1}{x} \times \ln (x)$,  déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item  Interpréter graphiquement ces deux limites.
	\end{enumerate} 
\item Prouver que $f^{\prime}(x) = 	\dfrac{2(1 - \ln (x))}{x^2}$ 	pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item  Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation: $f^{\prime}(x) = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $f^{\prime}(x)$ est du signe de $1 - \ln (x)$. 
		\item Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation: $1 - \ln(x) > 0$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\text{e})$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ en y précisant les limites.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau de valeurs donné ci-dessous. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,5 	&1	&2 	&3 	&5	&7	&10 \\ \hline 
$f(x)$	&		&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Construire la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip 

La courbe ci-dessous, représente une fonction $g$ définie et dérivable sur $[- 5~;~3]$.
 
La droite (T) est la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.

\begin{center} 
 
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(4,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-6)(4,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=10](-6,-6)(4,12)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{3}{x 3 exp 7 div x dup mul add 4 x mul 7 div sub 4 sub}
\psline{<->}(-2,-2)(2,-6)\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](-2,-2){(T)} \uput[d](-5,6){$\mathcal{C}_{g}$}
\rput(0,13){\textbf{Courbe représentative de} \boldmath $g$ \unboldmath}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Par lecture graphique, pour chacune des questions, cocher pour chaque question posée, la (ou les) bonne(s) réponse(s) : 

Aucune justification n'est demandée.
 
\begin{enumerate}
\item  $g(0)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
$-4$ &$-1$& 2& $-2$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\item $g'(0)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
$-4$& $-1$& 2& $-2$\\ 
\end{tabularx}
\medskip
  
\item Dans l'intervalle $[- 5~;~3]$, l'équation $g(x) = 0$ a pour solution(s) : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
$-4$ &$-1$ &2 &$-2$\\ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\item $g(x) > 0$ dans l'intervalle: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
[-5~;~-2[& ]- 2~;~2[ &]2~;~3] &[2~;~3]\\ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}
\end{document}