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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{correction \hspace{2em} Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Nouvelle--Calédonie novembre 2008 }Correction}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Deux vaccins sont utilisés pour une même maladie. 45\,\% des enfants ont été vaccinés avec le vaccin A, les autres avec le vaccin B. 
On note A, B, L et F les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og recevoir le vaccin A \fg{} ; 
\item[] B : \og recevoir le vaccin B \fg{} ; 
\item[] L : \og avoir une réaction légère au vaccin \fg{} ; 
\item[] F : \og avoir une réaction forte au vaccin \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
30\,\% des enfants qui ont reçu le vaccin B ont eu une réaction forte.

Tous les enfants ont eu une réaction légère ou forte au vaccin.
 
Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-4}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité indiquée \np{0.1} correspond à : 10~\% des enfants qui ont reçu le vaccin A ont eu une  réaction forte.
\item  L'arbre est complété ci-dessous, avec les probabilités  sur les branches. 

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{$\np{0.45}$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\np{0,9}$}
	\TR{$F$}\tbput{$\np{0,1}$}
	}
\pstree{\TR{$B$}\tbput{$\np{0.55}$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\np{0,7}$}
	\TR{$F$}\tbput{$\np{0,3}$}
	}
}
\end{center}

\item Calculons les probabilités $p(A \cap F)$ et $p(F)$.

$A \cap F$ est l'évènement : \og l'enfant a reçu le vaccin A et a eu une réaction forte \fg.

 $p(A \cap F)=p(A)\times p_{A}(F)=\np{0.45}\times \np{0.1}=\np{0.045}$
 
 $p(F)=p(A)\times p_{A}(F)+p(B)\times p_{B}(F)=\np{0.045}+\np{0.55}\times \np{0.3}=\np{0.045}+\np{0.165}=\np{0.21}$
\item On examine un enfant ayant eu une réaction forte. La probabilité qu'il ait reçu le vaccin A est notée $p_{F}(A)$.

$p_{F}(A)=\dfrac{p(A\cap F)}{p(F)}=\dfrac{\np{0.045}}{\np{0.21}}=\np{0.2143}$.

\item Les évènements $A$ et $F$ sont indépendants si $P(A \cap F)=P(F)\times P(A)$

\[P(A\cap F)=\np{0.0450}.\hspace{1cm} P(F)\times P(A)=\np{0.21}\times \np{0.45}=\np{0.0945}\]

Par conséquent, les évènements ne sont pas indépendants.

\item On examine 10~enfants. On assimilera cet examen à $10$~tirages indépendants.
 
On note $X$ le nombre d'enfants qui ont eu une réaction forte suite à l'un des vaccins. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,21$. 
		La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 
		
Le nombre $n$ d'examens est 10 et la probabilité que l'enfant ait eu une réaction forte  est \np{0,21}.

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (10 ;\ \np{0,21}) par conséquent $p(X=k)=\binom{10}{k}(\np{0,21})^k(\np{0,79})^{10-k}$
		
		\item Calculons la probabilité qu'au moins un des enfants ait eu une réaction forte. 

Pour ce faire, calculons d'abord la probabilité de l'évènement  contraire à savoir : \og aucun enfant n'a eu une réaction forte\fg.

$p(X=0)=(\np{0,79})^{10}\approx \np{0,0947}.\hspace{1cm} p(X\geqslant 1)=1-\np{0,0947}=\np{0,9053}$. 

		 La probabilité qu'au moins un enfant a eu une réaction forte est $\np{0.9053}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[ f(x) = 1 + 2 \dfrac{\ln(x)}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal d'unités graphiques : 1~cm pour une unité en abscisses et 4~cm pour une unité en ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la limite de $f$ en $+ \infty$.

 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=1+\lim_{x\to +\infty}2 \dfrac{\ln(x)}{x}=1$ car $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ ;
		\item Déterminons la limite de $f$ en $0$.
		
$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1+\lim_{x\to 0} \dfrac{2}{x}\times \ln x =1+\lim_{x\to 0} \dfrac{2}{x}\times \lim_{x\to 0}\ln x =1+\infty \times -\infty = -\infty$ ;
		\item Graphiquement 
\begin{itemize}
\item lorsque  $x$ tend vers $+\infty$, la droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe représentative  de $f$.
\item lorsque $x$ tend vers O, l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative  de $f$.
\end{itemize}
	\end{enumerate} 
\item Déterminons la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$

\[f'(x)=0+2\times\dfrac{\dfrac{1}{x}x-1 \ln x}{x^2}=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}\]

%Prouver que $f^{\prime}(x) = 	\dfrac{2(1 - \ln (x))}{x^2}$ 	pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item  Résolvons dans $]0~;~+ \infty[$, l'équation: $f^{\prime}(x) = 0$. 

$\dfrac{2(1 - \ln (x))}{x^2}=0 \qquad  x\not=0 \quad \text{et} \quad 1-\ln(x)=0 \qquad \ln(x)=1 \qquad x=\e $

L'ensemble des solutions de l'équation $f'(x)=0$ est $\{\e\}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item   $f^{\prime}(x)$ est du signe de $1 - \ln (x)$ car pour tout $x \in]0~;~+\infty[ \quad \dfrac{2}{x^2}>0$. 
		
		\item Résolvons dans $]0~;~+ \infty[$, l'inéquation: $1 - \ln(x) > 0$. 
		
		$1-\ln(x)>0 \iff \ln(x) <1 \iff 0<x<\e$
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation $1-\ln(x)>0$ est $]0~;~\e[$
		\item  $f(\text{e})=1+2\dfrac{\ln \e}{\e}=1+\dfrac{2}{\e}=1+2\e^{-1}$. 
		\item Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
		
	Pour $x\in]0~;~\e[,\ f'(x)>0$ par conséquent  $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.	
		
Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in]\e~;~+\infty[,\ f'(x)<0$ par conséquent  $f$ est strictement décroissante sur  cet intervalle.

Dressons maintenant le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1.05,0)(1.05,3) \psline(0,2)(8,2) %\psline(1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4,2.45){$\e$}     \uput[u](7.5,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.75,2){$+$}\uput[u](6.16,2){$-$}\uput[u](4,2){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.5){\scriptsize $-\infty$}\uput[d](7.85,0.5){\scriptsize $1$}\uput[d](4.1,2.1){\scriptsize $1+2\e^{-1}$}
\psline{->}(1.565,0.45)(3.85,1.65)\psline{->}(4.5,1.65)(7.68,0.45)
\psline(1.15,0)(1.15,3)
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate} 
\item Complétons le tableau de valeurs. Les résultats sont arrondis à $10^{-2}$ près.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$& 0,5 &1&2 &3 &5&7& 10 \\ \hline 
$f(x)$&$-\np{1.77}$&$1$&$\np{1.70}$&$\np{1.73}$&$\np{1.64}$&$\np{1.56}$&$\np{1.46}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous. 
\end{enumerate} 
\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-3)(14,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.015pt,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-3)(14,2)
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.42655}{14}{x ln x div 2 mul 1 add}
\psline(-1,1)(14,1)
\uput[dl](0,0){O}
\rput(13,1.46){$\mathcal{C}_{f}$}
\rput(6.5,2.05){\textbf{Courbe représentative de} \boldmath $f$ \unboldmath}
\end{pspicture}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
\newpage
\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip 

La courbe ci-dessous, représente une fonction $g$ définie et dérivable sur $[- 5~;~3]$.
 
La droite (T) est la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.

\begin{center} 
 
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(4,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-6)(4,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=10](-6,-6)(4,12)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{3}{x 3 exp 7 div x dup mul add 4 x mul 7 div sub 4 sub}
\psline{<->}(-2,-2)(2,-6)\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](-2,-2){(T)} \uput[d](-5,6){$\mathcal{C}_{g}$}
\rput(0,13){\textbf{Courbe représentative de} \boldmath $g$ \unboldmath}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Par lecture graphique, pour chacune des questions, cocher pour chaque question posée, la (ou les) bonne(s) réponse(s) : 

Aucune justification n'est demandée.
 
\begin{enumerate}
\item  $g(0)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
\hspace{-4.5mm}\ding{52}$-4$ &$-1$& 2& $-2$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\item $g'(0)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
$-4$& \hspace{-4.5mm}\ding{52}$-1$& 2& $-2$\\ 
\end{tabularx}
\medskip
  
\item Dans l'intervalle $[- 5~;~3]$, l'équation $g(x) = 0$ a pour solution(s) : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
$-4$ &$-1$ &\hspace{-4.5mm}\ding{52}2 &\hspace{-4.5mm}\ding{52}$-2$\\ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\item $g(x) > 0$ dans l'intervalle: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\square$~~~}X}}
\hspace{-4.5mm}\ding{52}[-5~;~-2[& ]- 2~;~2[ &\hspace{-4.5mm}\ding{52}]2~;~3] &[2~;~3]\\ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}
\end{document}