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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Polynésie juin 2009}}

\bigskip

\textbf{L'annexe est à rendre avec la copie}
   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.}
 
Une entreprise fabrique des composants électroniques.
 
On sait que 95\,\% des composants ne présentent pas de défaut.

 Une machine contrôle ces composants.
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La machine accepte tous les composants sans défaut.
 
\item La machine refuse 80\,\% des composants présentant un défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On dispose d'un lot de \np{10000}~composants et on choisit au hasard un composant de ce lot. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item D : \og Le composant présente un défaut \fg 
\item A : \og Le composant est accepté par la machine \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\item Calculer les probabilités suivantes: 
	\begin{enumerate}
		\item $p$(D) 
		\item $p\left(\overline{\text{A}}\right)$ 
		\item $p(\text{D} \cap \text{A})$
	\end{enumerate} 
\item  Sachant que le composant est accepté, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas de défaut ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet qu'un composant sans défaut rapporte 4~euros à l'entreprise, un composant refusé par la machine coûte 2~euros et un composant présentant un défaut et accepté par la machine coûte 6~euros à l'entreprise.
 
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque composant, pris au hasard, associe le gain (positif ou négatif) pour l'entreprise.
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de la loi de probabilité de la variable X donné en annexe. 
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X notée E(X). Que représente ce nombre pour l'entreprise ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip
 
On donne en document la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$, la tangente (T) à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ et (T$'$) la tangente au point d'abscisse $-1$.
 
Compléter le QCM fourni en \textbf{annexe}.

\medskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\ 
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~3]$ par :

\[g(x) = 2x^2 + 1 - \ln x.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 4 cm pour une unité en abscisses ; 
\item[] 1 cm pour une unité en ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~3]$. 
		\item Montrer que $g'(x)$ est du signe de $4x^2 - 1$ sur $]0~;~3]$. 
		\item Étudier le signe de $4x^2 - 1$ sur $]0~;~3]$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et de $g(3)$. 
		\item   Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~3]$.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et sa tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$. 
\item  On considère la fonction $G$ définie sur $]0~;~3]$ par : 

\[G(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - x\ln x + 2x.\]
 
Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $]0~;~3]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan délimité par $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
		\item Calculer la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan hachuré.
		\item Donner, en cm$^2$, la valeur arrondie de cette aire au mm$^2$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT exercice 2}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Représentation graphique de \boldmath $f$ \unboldmath et ses tangentes}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-7)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-7)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.25pt,griddots=10](-3,-7)(4,5)
\psline(-2,4)(2,0)\uput[ur](-2,4){(T)}
\psline(-2.5,2.71828)(0.5,2.71828) \uput[d](-2.5,2.71828){(T$'$)}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.548}{4}{2 x add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à compléter et à rendre avec la copie)}
 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.75}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& D & $\overline{\text{D}}$&Total\\ \hline
A & & &\\ \hline
$\overline{\text{A}}$& & $0$&\\ \hline
Total & & & \np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center} 

\begin{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$& $-6$&$-2$&4  \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&&&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \qquad QCM}

\medskip
 
Par lecture graphique, pour chacune des questions suivantes, cocher la bonne réponse : 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2.}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X *{3}{@{$\square~~$}X}}
\textbf{1.}& $f(-1) = 0$& $f(-1) = \text{e}$& $f(-1) = 3$\\
\textbf{2.}& $f^{\prime}(-1)=\text{e}$ &$f^{\prime}(-1) = -1$&$f^{\prime}(-1) = 0$\\  
\multicolumn{4}{l}{\textbf{3.} Une équation de la droite (T) est :}\\
&$y = -2x-1$& $y = -x + 2$& $y = x + 2$ \\ 
\multicolumn{4}{l}{\textbf{4.} La limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à :}\\ 
&1& 	$- \infty$& $0$ \\
\end{tabularx}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\textbf{4.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,05	&0,125	&0,25	&0,5	&1	&1,5 	&2	&2,5 	& 	3\\ \hline
$g(x)$	&		&		&		&		&	&		&	&		&  \\ \hline
\end{tabularx}
 
\end{document}