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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie}\hspace{3mm} correction}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\juin 2009\hspace{3mm} Correction}}

\bigskip

\textbf{L'annexe est à rendre avec la copie}
   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.}
 
Une entreprise fabrique des composants électroniques.
 
On sait que 95\:\% des composants ne présentent pas de défaut.

 Une machine contrôle ces composants.
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La machine accepte tous les composants sans défaut.
 
\item La machine refuse 80\:\% des composants présentant un défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On dispose d'un lot de \np{10000}~composants et on choisit au hasard un composant de ce lot. On considère les événements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item D : \og Le composant présente un défaut \fg 
\item A : \og Le composant est accepté par la machine \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Le tableau correspondant aux données est : 

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.75}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& D & $\overline{\text{D}}$&Total\\ \hline
A &100 &\np{9500} &\np{9600}\\ \hline
$\overline{\text{A}}$& \np{400}& $0$&\np{400}\\ \hline
Total &\np{500} &\np{9500} & \np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{center}
\item Calculons les probabilités des événements suivants: 

L'univers est l'ensemble des composants électroniques et la loi mise sur cet univers est la loi équirépartie. Pour un événement $A$ : $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
 	\begin{enumerate}
		\item L'événement contraire de D est l'événement \og le composant ne présente pas de défaut\fg{}. Nous savons que  95\:\% des composants ne présentent pas de défaut.
\[p(\text{D}) = 1-p\left(\overline{\text{D}}\right)=1-\np{0.95}=\np{0.05}.\]
		\item L'événement $\overline{\text{A}}$  est l'événement \og le composant est rejeté par la machine\fg{}. Quatre cents composants sont rejetés par la machine. 
\[p\left(\overline{\text{A}}\right)=\dfrac{400}{\np{10000}}=\np{0.04}.\] 
		\item L'événement $\text{D} \cap \text{A}$ est l'événement \og le composant a un défaut et est rejeté par la machine\fg{}. Cent composants sont dans ce cas.
\[p(\text{D} \cap \text{A})=\dfrac{100}{\np{10000}}=\np{0.01}.\]
	\end{enumerate} 
\item  Sachant que le composant est accepté, la probabilité qu'il n'ait pas de défaut est  définie par $p_{\text{A}}\left( \overline{D}\right).$

\[p_{\text{A}}\left( \overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{\text{D}} \cap \text{A}\right)}{p\left(\text{A}\right)}=\dfrac{\np{0.95}}{\np{0.96}}\approx\np{0.99}\]
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet qu'un composant sans défaut rapporte 4~euros à l'entreprise, un composant refusé par la machine coûte 2~euros et un composant présentant un défaut et accepté par la machine coûte 6~euros à l'entreprise.
 
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque composant, pris au hasard, associe le gain (positif ou négatif) pour l'entreprise.
 
\begin{enumerate}
\item Le tableau de la loi de probabilité de la variable X est  
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$& $-6$&$-2$&4  \\ \hline
$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&\np{0.01}&\np{0.04}&\np{0.95}  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire X notée E(X).
\[E(\text{X})= -6\times \np{0.01}-2\times \np{0.04}+4\times \np{0.95}=\np{3.66}\]
Ce nombre représente pour l'entreprise le gain qu'elle peut espérer  lors de de la fabrication d'un composant électronique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip
 
On donne en document la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$, la tangente (T) à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ et (T$'$) la tangente au point d'abscisse $-1$.
 
%Compléter le QCM fourni en \textbf{annexe}.

\medskip
 
{\small \emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.\\ 
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.\\
Aucune justification n'est demandée.}}

Par lecture graphique, pour chacune des questions suivantes, la bonne réponse est cochée: 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2.}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X *{3}{@{$\square~~$}X}}
\textbf{1.}& $f(-1) = 0$& \hspace{-3.5mm}\ding{52}$f(-1) = \text{e}$& $f(-1) = 3$\\
\multicolumn{4}{l}{\scriptsize Ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-1$.}\\
\textbf{2.}& $f^{\prime}(-1)=\text{e}$ & $f^{\prime}(-1) = -1$ & \hspace{-3.5mm}\ding{52}$f^{\prime}(-1) = 0$\\ 
 \multicolumn{4}{l}{\scriptsize (T') est parallèle à l'axe des abscisses.}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{3.} Une équation de la droite (T) est :}\\
&$y = -2x-1$& \hspace{-3.5mm}\ding{52}$y = -x + 2$& $y = x + 2$ \\ 
\multicolumn{4}{l}{\scriptsize  Le coefficient de la droite passant par les points (0~;~2) et (2~;~0) est $-1$.}\\
\multicolumn{4}{l}{\textbf{4.} La limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à :}\\ 
&1& 	$- \infty$& \hspace{-3.5mm}\ding{52}$0$ \\
\multicolumn{4}{l}{\scriptsize L'axe des abscisses est asymptote à la courbe.}\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $]0~ ;~3]$ par :

\[g(x) = 2x^2 + 1 - \ln x.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] 4 cm pour une unité en abscisses ; 
\item[] 1 cm pour une unité en ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $g$ en $0$.
\[\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}(2x^2+1)-\lim_{x\to 0}\ln x= +\infty.\]
En effet $\displaystyle \lim_{x\to 0}(2x^2+1)=1$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$.

La courbe représentative de $g$ est, par conséquent, asymptote à l'axe des ordonnées lorsque  $x$ tend vers 0.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $g'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~ ;~3]$. $g^\prime(x)=2(2x)+0-\dfrac{1}{x}=\dfrac{4x^2-1}{x}$. 
		\item $x$ étant strictement positif, $g'(x)$ est du signe de $4x^2 - 1$ sur $]0~ ;~3]$. 
		\item Étudions le signe de $4x^2 - 1$ sur $]0~ ;~3]$. Factorisons d'abord $4x^2-1$.

$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$. $x$ étant strictement positif, $2x+1>0$ par conséquent nous sommes amenés à étudier le signe de $2x-1$.

Dans $\R, \ 2x-1>0 \iff x>\dfrac{1}{2}$.

 Par conséquent si $x\in \left]0~;~\frac{1}{2}\right[, \ g^\prime (x)<0$  ou si $x\in \left]\frac{1}{2}~;~3\right], \ g^\prime (x)>0$. 
		\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item   $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1-\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}-(-\ln 2)=\dfrac{3}{2}+\ln 2$.

$g(3)=2(3)^2+1-\ln 3=19-\ln 3$. 
		\item  Dressons le tableau de variations de $g$ sur $\mathopen{]}0~;~3 \mathclose{]}$. 
		
		Si pour tout $x\in I,\:f^{\prime}(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$,
		
		pour tout $x\in \left]\frac{1}{2}~;~3\right], \ g^\prime (x)>0$ par conséquent $g$ est croissante sur cet intervalle.
		
		Si pour tout $x\in I \,f^{\prime}(x)<0 $ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$,
 
pour tout $x\in \left]0~;~\frac{1}{2}\right[, \ g^\prime (x) < 0$ par conséquent $g$ est décroisante sur cet intervalle. 

d'où le tableau 
		 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {\scriptsize $\tfrac{1}{2}$}    \uput[u](7.73,2.45){$3$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.37,1.985){$+\infty$}\uput[d](7.32,1.985){$19-\ln 3 $}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.565)\psline{->}(5,0.565)(7.3,1.55)
\uput[u](4.5,0.1){$\ln 2+\tfrac{3}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
		
	\end{enumerate} 
\item Dressons le tableau de valeurs suivant. Les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près. 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,05	&0,125	&0,25	&0,5	&1	&1,5 	&2	&2,5 	& 	3\\ \hline
$g(x)$	&	\np{4.0}	&\np{3.1}		&	\np{2.5}	&\np{2.2}		&\np{3}	&\np{5.1}		&\np{8.3}	&\np{12.6}		& \np{1.9} \\ \hline
\end{tabularx}

\item La courbe $\mathcal{C}_{g}$ et sa tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ sont tracées sur l'annexe. Comme $g^\prime \left(\dfrac{1}{2}\right)=0$, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
\item  On considère la fonction $G$ définie sur $]0~ ;~3]$ par : 

\[G(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - x\ln x + 2x.\]
 $G$ est une primitive de $g$ sur $]0~ ;~3]$ si $G^\prime =g$. 
 
 $G^\prime(x)=\left(\dfrac{2}{3}\right)(3x^2)-\left(1\times \ln x+ x\times \left(\dfrac{1}{x}\right)\right)+2=2x^2-\ln x +1=g(x)$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de l'annexe, le domaine plan délimité par $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ est hachuré .
		\item En unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan hachuré, $g$ étant strictement positive sur [1~;~e] est $\displaystyle \int_{1}^{\text{e}}g(x)\mathrm{d}x$.
		\[\displaystyle \int_{1}^{\text{e}}g(x)\mathrm{d}x=\Big[G(x)\Big]_1^{\text{e}}=G(\text{e})-G(1)=\dfrac{2}{3}\text{e}^3-\text{e}+2\text{e}-\dfrac{2}{3}- 2=  \dfrac{2}{3}\text{e}^3+\text{e}-\dfrac{8}{3}\]
		\item Donnons, en cm$^2$, la valeur arrondie de cette aire au mm$^2$ près. 
L'unité d'aire vaut 4 cm$^2$.
		
$\mathcal{A}=\np{13.4420}\times 4\approx \np{53.77}$.
		
		L'aire du domaine plan vaut environ \np{53.77}~cm$^2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT exercice 2}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Représentation graphique de \boldmath $f$ \unboldmath et ses tangentes}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-7)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-7)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.25pt,griddots=10](-3,-7)(4,5)
\psline(-2,4)(2,0)\uput[ur](-2,4){(T)}
\psline(-2.5,2.71828)(0.5,2.71828) \uput[d](-2.5,2.71828){(T$'$)}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.548}{4}{2 x add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}
 
\vspace{0.5cm}
\textbf{Courbe représentative de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath}
 \end{center}
\bigskip

\psset{xunit=4cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,19) 
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(3.1,18.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt](0,0)(3,18)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=0.25pt]{0.01}{3}{2 x 2 exp mul 1 add x ln sub}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=lightgray](1,0)(1,3)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{2.71828}{2 x 2 exp mul 1 add x ln sub}
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}
\rput(2.2,4.5){\Huge \color{red}{$\mathcal{A}$}}\rput(2.71828,-.35){\text{e}}
\psline[linecolor=red,linewidth=0.55pt]{<->}(0.25,2.193147)(0.75,2.193147)
\end{pspicture}
\end{document}