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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{correction \hspace{3mm}Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\ Polynésie juin 2011}\hspace{5mm} Correction}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-2}$ près si nécessaire}

\medskip
 
Lors d'une sortie mycologique, des étudiants ont cueilli 50~champignons de différentes espèces.

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
Les champignons ramassés proviennent de 2 forêts :
 
30 champignons, dont 40\,\% sont des bolets, proviennent de la forêt F1. 

20 champignons, dont 70\,\% sont des bolets, proviennent de la forêt F2. 
\begin{enumerate}
\item  Le tableau est complété sur l'annexe A. 
\item Les champignons sont posés sur une paillasse. On prélève un champignon au hasard sur la paillasse. 

L'univers est l'ensemble des champignons ramassés. La loi est la loi équirépartie donc  pour un événement A

$p(\text{A})=\frac{\text{nombre d'éléments de A}}{\text{nombre d'éléments de l'univers}}$.

\smallskip

 Déterminons la probabilité des événements suivants: \begin{itemize}
\item A : \og le champignon a été prélevé dans la forêt F1 \fg{} ; Il y a 30 champignons venant de la forêt F1. $p(\text{A})=\dfrac{30}{50}=\np{0.6}$.
\item B : \og le champignon est un bolet \fg. Il y a 26 bolets  donc $p(\text{B})=\dfrac{26}{50}=\np{0.52}$.
\end{itemize}
\item Sachant que le champignon est un bolet,  la probabilité qu'il provienne de la forêt F1 est

 $p_{\text{B}}(\text{A})=\dfrac{p(\text{A}\cap \text{B})}{p(\text{B})}=\frac{12}{26}\approx \np{0.46}$
\
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}
 
Un des paniers contient 25 champignons.
 
Parmi ces champignons, 15 sont comestibles et 10 sont vénéneux. Parmi les 10 champignons vénéneux, 3 sont mortels.
 
On tire au hasard et simultanément 6 champignons dans le panier.

 L'univers est l'ensemble des tirages possibles et la loi est la loi équirépartie

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons le nombre de tirages possibles de ces 6 champignons.
  
 Nous choisissons 6 champignons parmi les 25, il y en a $\dbinom{25}{6}$ soit \np{177100}.
\item Calculons la probabilité que les 6 champignons soient comestibles. 

Nous choisissons 6 champignons parmi les 15 comestibles, il y en a $\dbinom{15}{6}$ soit \np{5005}. 

Par conséquent $p(\{\text{\og les 6 sont comestibles \fg}\})=\dfrac{\np{5005}}{\np{177100}}\approx\np{0.03}$.
\item Calculons la probabilité d'avoir exactement 4 champignons comestibles.

 Nous choisissons 4 champignons parmi les 15 comestibles et 2 parmi les 10 vénéneux,

 il y en a $\dbinom{15}{4}\times \dbinom{10}{2}$ soit \np{61425}.
 
Par conséquent $p(\{\text{\og exactement 4 sont comestibles \fg}\})=\dfrac{\np{61425}}{\np{177100}}\approx\np{0.35}$.
\item Calculons la probabilité d'avoir au moins un champignon mortel.

 Calculons d'abord la probabilité de n'avoir aucun champignon mortel.  
 
Nous choisissons 6 champignons parmi les 22  qui ne sont pas mortels il y en a $\dbinom{22}{6}$ soit \np{74613}.

Par conséquent $p(\{\text{\og au moins 1 est mortel \fg}\})=1-\dfrac{\np{74613}}{177100}\approx\np{0.58}$.

\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, disons si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant notre réponse. %Toute réponse exacte non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 :}\hfill{\textbf{FAUSSE}}
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{2x} - x$.

La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $0$ a pour coefficient directeur $0$. 

Pour ce faire, nous devrions avoir $g^\prime(0)=0$ or 
\[g^\prime (x)=2 \text{e} ^{2x}-1\qquad g^\prime(0)=2-1=1\]
\item \textbf{Affirmation 2 :} \hfill {\textbf{VRAIE}}

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{2x} - x$.
 
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = +\infty$. 

\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty}g(x)=\lim_{x \to -\infty}\text{e}^{2x}  +   \lim_{x \to -\infty}-x= 0 +(+\infty)\]
\item \textbf{Affirmation 3 :}\hfill {\textbf{VRAIE}}

Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi binomiale de paramètre $n = 15$ et $p = 0,7$. 

On a $p( X = 8) \approx \np{0,0811}$. 

\[p(X=8)=\dbinom{15}{8}\times (\np{0.8})^8 \times (\np{0.3})^{7}\approx \np{0.08113}\]
\item \textbf{Affirmation 4 :}\hfill {\textbf{VRAIE}}

Soit $Y$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : 

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_{i}$&0&1 &2 &3\\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{9mm}$p\left(Y = y_{i}\right)$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{4 }$&$\dfrac{1}{4 }$\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
 
L'espérance mathématique de $Y$ est égale à $\dfrac{19}{12}$

\[\text{E}(Y)= 0\times \dfrac{1}{6}+1\times \dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{1}{4}+3\times \dfrac{1}{4}= \dfrac{4+6+9}{12}=\dfrac{19}{12}\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip 

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 
La tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$, au point A de coordonnées $\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ a pour coefficient directeur $-3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Puisque A $\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)\quad f(1)=\frac{1}{2}$ et que la tangente a pour coefficient directeur $-3 \quad f^{\prime}(1)=-3$.
 
$f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = ax^2 + bx - 4\ln x$ o˘ $a$ et $b$ sont deux réels.
 
Déterminons $f^{\prime}(x)$ en fonction de $a$ et $b$. $f^\prime(x)=a(2x)+b-4(\frac{1}{x})=2ax+b-\frac{4}{x}$
 
 $a$ et $b$ sont solutions du système $
\begin{cases}
f(1)=\dfrac{1}{2}\\
f^{\prime}(1)=-3\\
\end{cases}$
en remplaçant par leur valeur 
$\begin{cases}
a+b=\dfrac{1}{2}\\
2a+b=1
\end{cases}$

Résolvons ce système, en soustrayant nous obtenons $a=\frac{1}{2}$ et par suite en remplaçant dans la première ligne $b=0$

 L'ensemble des solutions du système est $\big\{(\frac{1}{2}~;~0)\big\}$
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On admet que $f$ est définie sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 4\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=+\infty$. En effet, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \tfrac{1}{2}x^2=0$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0}-\ln x=-(-\infty )=+\infty$

L'axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe quand $x$ tend vers 0.
 
\item  $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4\ln x$. En mettant $x$ en facteur, nous obtenons bien  $f(x) = x\left(\tfrac{1}{2}x - 4\left(\tfrac{\ln x}{x}\right)\right)$.

 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=+\infty$. 
En effet, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \tfrac{\ln x}{x}=0$ d'o˘  $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \tfrac{1}{2}x - 4\times\left(\tfrac{\ln x}{x}\right)= +\infty$ et \hspace{3mm} $(+\infty) \times (+\infty) =+\infty$

\item Déterminons $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$. $f^\prime(x)=x-4\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2-4}{x^2}$

\item …tudions  le signe de $\left(x^2 - 4\right)$ sur $\R$. $x^2 - 4=(x-2)(x+2).$

\renewcommand\arraystretch{1.1}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccc}
$x$ & $-\infty$ &  & $-2$ &  & 2 &  & $+\infty $\\\hline
$x+2$ &  & $-$ & 0 & $+$ & \vrule & + &  \\\hline
$x-2$ &  & $-$ & \vrule &$ -$ & 0 & + &  \\\hline
$x^2-4$&&+&0&$-$&0&+\\
\end{tabular}
\end{center}

Si $x \in ]0~;~2[, \quad f^{\prime}(x)<0$  et si $x \in ]2~;~+\infty[, \quad f^{\prime}(x)>0$.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour tout  $x \in ]0~;~2[, \quad f^{\prime}(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

Pour tout  $x \in ]0~;~2[, \quad f^{\prime}(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

 Dressons alors le tableau de variations de la fonction $f$. 
  
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$} \uput[u](4.5,2.45) {$2$}    \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,1.98){$+\infty$}\uput[d](7.62,1.98){$+\infty $}
\psline{->}(1.5,1.55)(3.77,0.35)\psline{->}(5.17,0.35)(7.7,1.55)
\uput[u](4.5,0.05){$2-4\ln 2$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \item Le tableau de valeurs est complété sur l'annexe A.% (à rendre avec la copie).
 
\item Dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm, traçons la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 2, la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ sur l'annexe. 
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE} %(à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&F1&F2&Total\\ \hline
Bolet&12&14&26\\ \hline
Autre&18&6&24\\ \hline
Total&30&20&50\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\bigskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,25&0,5&1&1,5&2&2,5&3&3,5&4&4,5&5\\ \hline
$f(x)$&$\np{5.6}$&$\np{2.9}$&$\np{0.5}$&$\np{-0.5}$&$\np{-0.8}$&$\np{-0.5}$&$\np{0.1}$&$\np{1.1}$&$\np{2.5}$&$\np{4.1}$&$\np{6.1}$\\ \hline
\end{tabularx}
 \end{center}
 les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près.

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,6.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.49995,-1)(6.7,6.7)
\multido{\n=-0.5+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,6.5)}
\multido{\n=-1+.5}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-0.5,\n)(6.5,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0.5,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot{-0.5}{1.5}{  3 neg   x mul 3.5  add}
\psline{<->}(1.5,-0.7726)(2.5,-0.7726)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,algebraic]{1.2}{8.5}{ln(x-1)-1/(x-1)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.2}{5.1}{.5 x mul x mul 4  x ln mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](5.15,6.1){$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](1.45,-0.85){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}