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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\invalA{$~]-\infty~;~3]$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Polynésie juin 2013}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\textbf{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou 
infructueuse, qu'il aura développée.}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

On considère la fonction $f$ définie sur \invalA{} par : 

\[f(x) = \e^{x-1} - x + 3.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$

\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle \invalA. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans \invalA{}  l'inéquation : $\e^{x-1}-1\geqslant 0$. 
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur \invalA. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur \invalA
		\item En déduire que $f(x)$ est strictement positif sur \invalA. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}. 
	
	\emph{Les valeurs seront arrondies à $10^{-1}$ près}. 
		\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orlhonormal d'unité graphique 2~cm. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur\invalA. 
		\item  Calculer la valeur exacte de  $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x$	puis donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près. 

		Interpréter graphiquement cette valeur. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies à 0,001 près si nécessaire.} 

\medskip

Une des épreuves du concours d'entrée aux ENSA (…coles Nationales Supérieures d'Agronomie) est un 
oral de biologie. 

Lors de cette épreuve, les candidats doivent répondre soit à une question de biologie animale, soit à une 
question de biologie végétale. Les résultats de la dernière promotion montrent que: 

\medskip

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 45\,\% des questions ont porté sur la biologie animale; 
\item [$\bullet$] parmi les candidats interrogés sur la biologie animale, 60\,\% ont été reçus au concours; 
\item [$\bullet$] parmi les candidats interrogés sur la biologie végétale, 70\,\% ont été reçus au concours.
\end{itemize}

\smallskip

On interroge au hasard un candidat de cette promotion. 

\smallskip

On note A, V et R les événements suivants: 

\medskip

\begin{description}
\item[] A : \og le candidat est interrogé sur la biologie animale \fg{} ; 
\item[] V : \og le candidat est interrogé sur la biologie végétale \fg{} ; 
\item[] R : \og le candidat est reçu au concours \fg. 
\end{description}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 	Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur chaque branche. 
\item Prouver que $p(\text{R}) = 0,655$. 
\item Le candidat est reçu au concours. 

Calculer la probabilité pour qu'il ait été interrogé sur la biologie animale. 
\item Les événements A et R sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item On interroge au hasard et de façon indépendante 6 candidats de cette promotion. 

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats reçus à ce concours parmi les 6. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0,655$. 
		\item Calculer la probabilité que les $6$ candidats soient reçus au concours. 
		\item Calculer la probabilité qu'au moins $2$ candidats soient reçus au concours. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

La courbe $C$, donnée dans le \textbf{document 1}, est la représentation graphique dans un repère orthogonal, 
d'une fonction $g$ dérivable sur $\R$. 

\medskip

\begin{description}
\item[] La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $-3$.
\item[] La droite $\Delta$ est tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 1. 
\item[] La droite $D$ est asymptote à $C$ en $+ \infty$.
\end{description}

\medskip

Par lecture graphique, compléter le QCM donné en \textbf{annexe A}.

 \emph{
Pour chaque question, une et une seule des trois réponses proposées est exacte.\\ 
Une réponse exacte rapporte 1 point. \\
Une réponse inexacte enlève 0,5 point. \\
L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point.\\ 
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera 0.}

 
\vspace{2cm}

\begin{center}
\textbf{\large Document 1}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $g$\unboldmath 
\end{center}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=7mm}

\begin{pspicture}(-4,-5)(11,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.75pt,ticksize=-1.5pt 1.5pt,tickwidth=0.9pt]{->}(0,0)(-4,-5)(10.3,7.2)
\multido{\n=-4+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,7)}
\multido{\n=-5+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-4,\n)(10,\n)}
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt](-4,1)(10,1)
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt](-4,4)(10,4)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt,plotpoints=800]{-4}{0.5}{x 2 mul 6 add}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.2pt](-4,-4)(-3,0)(-2,1)(-1,2)(0,3.5)(1,4)(2,3.5)(3,2.9)(4,2.5)(5,2.1)(6,1.8)(7,1.57)(8,1.35)(9,1.2)(10,1.15)
\uput[d](8.5,4){$\Delta$}
\uput[d](0.5,7){$T$}\uput[ur](-4,-4){$C$}\uput[d](8.5,1){$D$}
\end{pspicture}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\textsc{\large Annexe A}(à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{1.5cm}
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\bigskip

\emph{Les valeurs seront arrondies à $10^{-1}$ près.} 

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$-5$ &$-4$ &$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2 &3 \\ \hline 
$f(x)$	&		&	&&	&	&	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}
 
 \vspace{1cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3 :} \hspace{1em} QCM}

\emph{Cocher, pour chaque question posée, la réponse qui convient. \\
Aucune justification n'est demandée. }

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item 	L'image de $-1$ par $g$ est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
4& 1&2\\
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Le nombre dérivé de $g$ en $-3$ est: 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
2& 6&0\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction $g$ est strictement positive sur l'intervalle: 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$]-\infty~;~1]$& $]-4~;~1]$&$]-3~;~+ \infty[$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est égale à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
0&$+ \infty$& 1\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}