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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Polynésie  juin 2014}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Dans le cadre d'une enquête auprès d'étudiants d'un lycée, on s'intéresse plus particulièrement à ceux
possédant éventuellement un smartphone, une tablette tactile ou les deux.

Les résultats sont les suivants :

\smallskip

\begin{itemize}
\item [\textbullet] 60\,\% des étudiants interrogés possèdent un smartphone ;
\item [\textbullet] Parmi ceux-ci, 25\,\% possèdent une tablette tactile ;
\item [\textbullet] 50\,\% des étudiants n'ayant pas de smartphone ne possèdent pas de tablette tactile.
\end{itemize}

\smallskip

On interroge au hasard un de ces étudiants.

\smallskip

On note $S$ et $T$ les évènements suivants :
\begin{description}
\item[] $S$ : \og L'étudiant possède un smartphone\fg{} ;
\item [] $T$ : \og L'étudiant possède une tablette tactile \fg.
\end{description}

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près si nécessaire.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur
chaque branche.
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer $P( S \cap T )$ et $P( \overline{S} \cap T )$.
\item En déduire que la probabilité que l'étudiant possède une tablette tactile est de 0,35.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on interroge un étudiant qui possède une tablette tactile. Déterminer la probabilité
qu'il possède un smartphone.
\item On interroge au hasard et de façon indépendante 10 étudiants de cet établissement.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'étudiants possédant une tablette tactile parmi les 10.
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,35$.
\item Calculer la probabilité que la moitié des étudiants interrogés possèdent une tablette tactile.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} 

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ dont on donne le tableau de variations ci-dessous.
On note $g^\prime$ sa fonction dérivée et $\mathcal{C}_g $ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](3.5,2.45){$-7$} \uput[u](5.5,2.45){$0$}\uput[u](7.7,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}  \uput[u](3.5,2){$0$}\uput[u](4.5,2){$-$}\uput[u](5.5,2){$0$} \uput[u](6.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.45,0.51){$0$}\uput[u](3.5,1.5){$3\e^{-2}$}\uput[d](5.5,0.53){$-1$}\uput[ur](7.2,1.5){$+\infty $}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.4,1.6) \psline{->}(5.5,0.5)(7.3,1.6)\psline{->}(3.64,1.56)(5.3,0.49)
\end{pspicture}
\end{center}


Compléter le QCM fourni \textbf{en annexe A (à rendre avec la copie)}.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse
n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cet exercice sera zéro.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points} 

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $[-1~;~+\infty[$  et $f ^\prime $ sa fonction dérivée.

Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée en \textbf{annexe B (à rendre avec la copie)}.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe  $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

La droite D$_1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2 et la droite D$_2$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au
point d'abscisse $-\frac{1}{2}$.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

À l'aide du graphique et des données de l'énoncé, déterminer, sans justifier :
\begin{enumerate}
\item L'image de $\frac{1}{2}$ par la fonction $f$ ;
\item Le signe de $f (x)$ suivant les valeurs de $x$ ;
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f ^\prime(x) \geqslant 0$ ;
\item La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $[-1~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \left(2x^2 + x -1\right)\e^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de $[-1~;~+\infty[$, $f ^\prime (x) =\left(-2x^2 + 3x + 2\right)\e^{-x} $.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $f'(x)$ est du signe de $- 2x^2 + 3x + 2$ sur $[-1~;~+\infty[$. 
\item Étudier le signe de $- 2x^2 + 3x + 2$ sur $[-1~;~+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-1~;~+\infty[$.

On précisera les valeurs exactes de $f \left(-\dfrac{1}{2}\right)$ et $f (2)$.
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(-2x^2 - 5x - 4\right)\e^{-x} $ est une primitive de $f$ sur $[-1~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique de l'\textbf{annexe B} le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}_f$ , l'axe des
abscisses et les droites d'équation $x = \frac{1}{2}$ et $x = 4$.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe A (à compléter et à rendre avec la copie).}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 :} \hspace{2em}QCM }

\medskip

Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate}[itemsep=2.5ex]
\item  La courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de $g$ passe par le point :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
A(-1 ;0)& B(-7 ;0) & C $\left(-7;\dfrac{3}{\e^2}\right)$\\
\end{tabularx}
\item La courbe $\mathcal{C}_g$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\begin{minipage}[t]{3.5cm} admet une asymptote
horizontale\end{minipage}&\begin{minipage}[t]{3.5cm}
 admet une asymptote
verticale\end{minipage}&\begin{minipage}[t]{3.75cm}
 n'admet ni asymptote
horizontale, ni asymptote
verticale\end{minipage}\\
\end{tabularx}

\item L'équation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
 une solution & deux solutions & trois solutions
\end{tabularx}
\item  La valeur de $g(3)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
 positive & négative & on ne peut pas savoir
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\newgeometry{left=1cm,right=1cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe B (à compléter et à rendre avec la copie).}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 :} }

\medskip


\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,arrowscale=1.5,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.9,-2.3)(7,2.7)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.7,-2.4)(7.3,2.5)
 \multido{\n=-1.5+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-2.3)(\n,2.505)}
\multido{\n=-2+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.8,\n)(7.2,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=800]{-1}{7.2}{ 2.71828 x  neg exp  2 x 2 exp  mul x add 1 sub mul}
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-1.7}{7.2}{2.71828 2 neg exp 9 mul}
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-1.7}{7.2}{-1.64872127}
\uput[ur](4.5,1.218){D$_1$}\uput[ur](4.5,0.5){$\mathcal{C}_f$}\uput[ur](4.5,-1.648){D$_2$}
\end{pspicture}
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