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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\setlength\parindent{0mm}
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\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane-Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Antilles-Guyane-Polynésie septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip
\begin{center}

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}
\end{center}
\medskip

On donnera les résultats arrondis si nécessaire à $10^{-3}$ près.

\medskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

L'équipe \og recherche et développement\fg{} d'une entreprise souhaite créer un nouveau modèle de
paire de lunettes de réalité augmentée.

On lance une fabrication test pour laquelle on estime que 5\,\% des paires de lunettes présentent un
défaut. On prélève alors au hasard 12 paires de lunettes.

On suppose que la fabrication est suffisamment importante pour considérer indépendant le choix
des 12 lunettes. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de paires de lunettes
défectueuses.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $X$ est distribuée selon une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Déterminer la probabilité de n’avoir aucune paire de lunettes défectueuse.
\item Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le cadre de cet énoncé.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à toute paire de lunettes de réalité augmentée, prélevée au hasard
dans la production, associe son autonomie en minutes. On admet que $Y$ est distribuée selon la loi
normale de moyenne \textmu= 420 et d’écart-type \textsigma =10.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité qu’une paire de lunettes ait une autonomie de moins de \np[min]{400}  ?
\item On dit qu’une paire de lunettes est suffisamment performante si son autonomie se situe entre
400 et 440 minutes. Déterminer la probabilité qu’une paire de lunettes soit suffisamment performante.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{PARTIE 3}

\medskip

Le service après-vente de l'entreprise constate que, sur l'ensemble de la production, 15\,\% des
paires de lunettes sont retournées dans la première année.

On rappelle que : pour une proportion connue $p$ dans une population, l’intervalle de fluctuation
asymptotique à 0,95 d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :

\[I_f=\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence des paires de lunettes retournées dans la première année.
\item Dans un des magasins, un revendeur remarque que, pour son magasin, sur 600 paires de lunettes vendues, il doit en retourner 100 au service après-vente au cours de la première année.

Exploiter ce résultat pour évaluer si ce magasin est représentatif du nombre de retours au service après-vente de l'entreprise.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

La production mensuelle d'une autre entreprise de lunettes varie entre \np{1000} et \np{9000}  pièces.

La fonction $f$ est définie sur [1~;~9] par :

\[f(x)=-x^2+ 14x- 13- 12\times  \ln(x)\]

où $\ln$ est la fonction logarithme népérien.

$f$ représente le bénéfice mensuel en dizaine de milliers d’euros pour la vente de $x$ milliers de lunettes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$  la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1 ; 9]. Pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~9], calculer $f'(x)$ puis prouver que $f'(x)$ peut s'écrire:

\[f'(x)=\dfrac{-2(x - 1)(x-6)}{ x}\]

\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~9].

\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur [1~;~9]. On précisera les valeurs exactes de $f (1$), de $f (6)$ et de $f (9)$.
\item Déterminer le nombre de pièces à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Préciser la valeur de ce bénéfice arrondi à l’euro près.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

Dans une région montagneuse, le syndicat de la filière caprine a mis en place des actions pour promouvoir l’élevage de chèvres.

Par conséquent, il a été observé une augmentation du cheptel de chèvres de 2\,\% par an.

En 2017, le cheptel de chèvres dans cette région est évalué à \np{6 000} têtes.

On suppose que cette évolution se poursuit dans les années qui suivent.

On note $u_0$ le nombre de chèvres en 2017, $u_n$ le nombre de chèvres l’année (2017 +$ n$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre de têtes en 2018 puis en 2019.
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item On considère l’algorithme ci-dessous :
\begin{center}

\fbox{
\begin{minipage}[]{0.4\textwidth}
\textbf{Variables :}

N est du type nombre entier naturel

U est du type nombre réel

\smallskip

\textbf{Initialisation :}

N prend la valeur $0$

U prend la valeur \np{6000}

\smallskip

\textbf{Traitement :}

Tant que U < \np{8 000}

\hspace{1.5em}N prend la valeur N + 1

\hspace{1.5em}U prend la valeur U $\times$ 1,02

Fin tant que

\smallskip

\textbf{Sortie :}

Afficher 2017 + N
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Expliquer ce que réalise cet algorithme dans le contexte de cet exercice.
\item Par la méthode de votre choix que vous préciserez, donner la valeur affichée par cet algorithme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et soit $f'$ sa fonction dérivée.

Sa courbe représentative  $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-après.

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses.

La droite T est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d’abscisse 3.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.

À l’aide du graphique et en justifiant la démarche adoptée :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’image de 3 par la fonction $f$.
\item Déterminer la valeur de $f'(3)$    .
\item Déterminer la limite de $f(x)$   quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item Résoudre graphiquement l’inéquation $f'(x)\leqslant 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
Graphe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ (exercice 4):
\end{center}
%\setlength\parindent{-15mm}

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\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(9,4.2)
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