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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane-Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2017}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant juin  2017\\[5pt]Antilles-Guyane-Polynésie }}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{Les annexes A et B sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip

On procède, chez un sportif, à l’injection intramusculaire d’un produit. Celui-ci se diffuse progressivement dans le sang.

On admet que la concentration de ce produit dans le sang, exprimée en mg$\cdot L^{-1}$ (milligrammes par litre) peut être modélisée par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = 6x\e^{-x}\]

où $x$ est le temps exprimé en heures.


\begin{minipage}[]{6.5cm}
\begin{enumerate}
\item On donne ci-contre la capture d’écran d’une calculatrice illustrant la représentation
graphique de la fonction $g$, chaque graduationcorrespondant à une unité.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la limite de $g$ en $+\infty$.
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{7cm}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=1.5cm}
\definecolor{TI}{gray}{0.90}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(10,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=TI](-1,-0.5)(10,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,-0.2)(9,2.25)
\psaxes[linewidth=0.95pt,yticksize=5pt,labels=none]{-}(0,0)(9,2.25)
\uput[dr](0,-0.2){\footnotesize $x=\np{8,230303}$}
\uput[dr](5,-0.2){\footnotesize $y=\np{0,0131581}$}
\uput[r](0,2.35){$y_1=6x\text{e}\hat~(- x)$}
\uput[d](8.2330303,0.1831581){*}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{8}{2.72818 x neg exp x 6 mul mul}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip
\begin{enumerate}[resume, start=2]
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, justifier que $g'(x) = (6 - 6x)\e^{-x} $.
\item Justifier que $g'(x)$ est du signe de $(6 - 6x)$ et en déduire le signe de $g'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$. \emph{On précisera la valeur exacte
de $g(1)$}.
\end{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la concentration maximale du médicament dans le sang.
\item Le produit fait l’objet d’une réglementation par la fédération sportive. Pour ne pas être en infraction, la concentration dans le sang de ce produit doit être inférieure à $\np[mg\cdot L^{-1}]{0.05}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter en \textbf{Annexe A (à rendre avec la copie)} l’algorithme permettant de déterminer le nombre d’heures qu’il faut attendre après l’injection pour être sûr de ne pas être en infraction.
		\item Déterminer, par la méthode de votre choix et en expliquant la façon de procéder, le nombre d’heures qu’il faut attendre après l’injection pour être sûr de ne pas être en infraction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

La glycémie, appelée aussi \og  taux de sucre\fg{} ou \og taux de glucose\fg{} dans le sang, peut varier chez une personne diabétique pour plusieurs raisons : alimentation, traitement, activités sportives, $\dots$

\smallskip

\textbf{PARTIE A}

\smallskip

Une étude statistique menée sur une population a permis de diagnostiquer que :
\begin{itemize}
\item  5\,\% des personnes sont diabétiques et, parmi elles, 30\,\% pratiquent une activité sportive régulière ;
\item parmi les personnes non diabétiques, 20\,\% pratiquent une activité sportive régulière.
\end{itemize}

On interroge au hasard une personne issue de cette population.

On note $D$ l’évènement \og la personne interrogée est diabétique\fg.

On note $S$ l’évènement \og la personne interrogée pratique une activité sportive régulière \fg.

\begin{enumerate}
\item  Décrire cette situation avec un arbre de probabilités, en précisant sur chaque branche la valeur des probabilités.
\item Justifier que la probabilité pour une personne interrogée d’être diabétique et de pratiquer une activité sportive régulière est $0,015$.
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique une activité sportive régulière.
\end{enumerate}
\smallskip

\textbf{PARTIE B}

\smallskip

\emph{En 2006, le pourcentage de personnes diabétiques en France était de 3,95\,\%. L'Institut de Veille Sanitaire s’interroge sur la proportion de personnes diabétiques en France et aimerait savoir s’il y a une différence en
2016.}

Un laboratoire, mandaté par l’Institut de veille sanitaire, effectue des analyses médicales sur $900$ personnes et observe $63$ individus diabétiques.

On suppose que la population française est suffisamment importante pour que le choix des 900 personnes puisse être assimilé à un prélèvement avec remise.

\textbf{On rappelle que :}

L’intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :

\[ \Bigg[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~ p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigg]\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de personnes diabétiques en 2006 obtenue sur un échantillon de taille $900$ (les bornes seront arrondies à $10^{-4}$ près).
\item Ce résultat nous amène-t-il à remettre en cause l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes diabétiques est restée la même en 2016 qu’en 2006 ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

\medskip

La Fédération Française des Diabétiques publie le document suivant concernant le taux normal de glycémie à jeun.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Hypoglycémie 		&inférieur à $\np[g\cdot L^{-1}]{0,70}$ \\\hline
Glycémie normale 	&entre $\np[g \cdot  L^{-1}]{0.70} $ et $\np[g\cdot L^{-1}]{1,10}$ \\\hline
Hyperglycémie 		&supérieur à $\np[g\cdot L^{-1}]{1.10}$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans une population, associe
son taux de glycémie à jeun, exprimé en g$\cdot L^{-1}$.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.

On arrondira, si besoin, les résultats à $10^{-3}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(0,7 \leqslant X \leqslant 1,1)$ . Donner la signification de ce résultat dans le contexte de
l’exercice.
\item Déterminer la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans cette population soit en hyperglycémie.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{Annexe B (à rendre avec la copie)}.

\emph{Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de point.}

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition posée, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\bigskip

Question \textbf{4.a.}

\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\emph{Initialisation}\\
\hspace{2em} $x$ prend la valeur 1\\
\hspace{2em}$y$ prend la valeur 2,2\\
\emph{Traitement}\\
\textbf{Tant que }\dotfill\\
\hspace{2em}$x$ prend la valeur $x + 1$\\
\hspace{2em} $y$ prend la valeur \dotfill\\
\textbf{Fin Tant que}\\
\emph{Sortie}\\
Afficher $x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1.2cm}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} : QCM}

\medskip

\textbf{Cocher pour chaque proposition, la réponse correcte. Aucune justification n’est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x) =1+\dfrac{1}{2x}$

Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est :


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\square~~$}X}}
 $F(x) = x + \ln(2x)$ & $F(x) = x +\dfrac{1}{2}\ln( x) $&$F( x) =-\dfrac{1}{2x^2}$.
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  L’intégrale $\displaystyle \int_1^{3}(2x^2 - 1)\mathrm{d}x$ est égale à :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\square~~$}X}}
 $16$ & $\dfrac{44}{3}$&$\dfrac{46}{3}$ .
\end{tabularx}

\medskip

\item ~

\parbox{0.35\linewidth}{On donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$  d’une fonction $f$ définie sur $\R$


L’intégrale $\displaystyle \int _{0}^{2}f (x)\mathrm{d}x $ est :}
\hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(3,6.5)
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,6.1)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-2.8,\n)(2.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2.99,0)(3,6.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-2.3}{2.3}{  x x mul 1 add}
\uput[u](1.5,5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\square~~$}X}}
comprise entre 0 et 3 &comprise entre 3 et 7 &supérieure à 7.
\end{tabularx}
 
\medskip

\item L’intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1} \text{e}^{- x}\mathrm{d}x$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\square~~$}X}}
 $1-\dfrac{1}{\e}$ & $1+\e^{-1}$&$\dfrac{1}{\e}-1$.
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}