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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P{}. M. E. P.{}}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2006}}
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\begin{center} {\decofourleft~\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Nouvelle Calédonie juin 2006}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6,5 points}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $I = \left[- 2~;~\frac{3}{2}\right]$ par: 

\[g(x) = \text{e}^{2x}  - 8x.\]

On note $\left(\mathcal{C}_g\right)$ sa représentation graphique dans
un repère orthogonal d'unités graphiques: 4 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $g'(x) = 2 \left(\text{e}^{2x}  - 4\right)$.
\item Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$ sur $I$. 

On calculera les valeurs exactes de $g(-2)$, $g\left(\frac{3}{2}\right)$ et $g(\ln2)$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs numériques de $g(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-2$& $-1$ &0& $\ln 2$& 1& 1,25& 1,5\\ \hline
$g(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Construire $\left(\mathcal{C}_g\right)$ et sa tangente au point d'abscisse $\ln 2$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes

La courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur 
$[0~;~\pi]$.

La droite $(T)$ est tangente à $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\textbf{Partie  A}

\medskip

Par \textbf{lecture graphique} répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = - 1$.
\item Résoudre l'inéquation : $f(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $[0~;~\pi]$ par : 

\[f(x) = \cos \left(3x + \dfrac{\pi}{2} \right).\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[0~;~\pi]$.
\item Calculer la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = \frac{2\pi}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7,5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Parmi les 100 élèves de Seconde d'un lycée agricole, on compte 60 filles.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 40\,\% des filles ont choisi l'option équitation;
\item 20\,\% des garçons ont choisi l'option musique;
\item 30\,\% des élèves ont choisi l'option LV2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il y a autant de garçons que de filles qui ont choisi la musique. Chaque élève pratique une option et une seule.

Dans cet exercice, les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau du document décrivant cette situation.
\item On choisit un élève au hasard parmi les $100$ élèves.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : 
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item \og l'élève pratique l'équitation \fg.
\item \og l'élève est un garçon qui pratique la musique \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Quelle est la probabilité que l'élève pratique une LV2 sachant que c'est un garçon ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	
Partie B

\medskip

Parmi ces élèves de Seconde, il y a $8$~filles externes et $8$~garçons externes. On choisit 3 élèves au hasard et simultanément parmi les 16~externes de Seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il y a $560$ choix possibles.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles parmi les 3 élèves choisis.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? Justifier les résultats.
		\item Recopier et compléter le tableau du document donnant la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2 : courbe } \boldmath$\left(\mathcal{C}_f \right)$\unboldmath

\vspace{1cm}

\psset{unit=2.25cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(3.5,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=15](-0.5,-2)(3.5,2)
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\psline[linestyle=dashed](1.5708,0)(1.5708,1)
\uput[dr](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$}\uput[d](1.5708,0){$\frac{\pi}{2}$}
\uput[dl](2.0944,0){$\frac{2\pi}{3}$}\uput[ul](1,0){1}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](2.8,1){$T$}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau de l'exercice 3, partie A}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Sexe}{Option}	&Équitation	&Musique	&LV2&Total\\ \hline
Filles					&			&			&	&60\\ \hline
Garçons					&			&			&	&40\\ \hline
Total					&			&			&	&100\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3, partie B : loi de probabilité de $X$}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$			&0	&1	&2	&3\\ \hline
$P(X = k)$	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}