\documentclass[11pt,a4paper,frenchb]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%source : Christian Samson
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STAV},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie - novembre 2019},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{Novembre 2019}}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STAV Nouvelle Calédonie novembre 2019~\decofourright}}


\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

L'annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

Lorsqu'on place une substance solide (comme le sel) dans l'eau, la vitesse de dissolution est
proportionnelle à la quantité non encore dissoute, à tout instant.

On place 20~kg de sel dans un grand récipient d'eau à l'instant $t =0$ et on note $f(t)$ la quantité dissoute
(en kg) à l'instant t (en min).

On admet que $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = - 20\text{e}^{-0,02t} + 20.\]

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, donnée
ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(220,22)
\multido{\n=0+10}{23}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,22)}
\multido{\n=0+5}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(220,\n)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(220,22)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{220}{20 20 2.71828 0.02 x mul exp div sub}
\uput[u](190,0){temps en minutes}\uput[r](0,21){quantité de sel dissout en kg}
 \end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, émettre une hypothèse sur le sens de variation de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$.
		\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat mathématiquement, puis dans le
contexte de l'exercice.
		\item Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$ puis le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
 	\end{enumerate}
\item  On voudrait déterminer au bout de combien de temps 15~kg de sel seront dissouts.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée de ce moment par la méthode de votre choix (graphique
et/ou calculatrice).
		\item Résoudre l'équation $- 20\text{e}^{-0,02t} + 20 = 15$ et donner la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie à l'unité près du moment où il ne restera que $5$~kg de sel à dissoudre.
 	\end{enumerate}
\item  On pose $Q = \dfrac{1}{120}\displaystyle\int_0^{120}  f(t)\: \text{d}t$.

$Q$ représente la quantité de sel moyenne dissoute sur les $2$ premières heures de l'expérience.
	
Donner la valeur exacte de $Q$ puis sa valeur approchée arrondie au gramme près.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une jardinerie vend des lots de graminées pour gazon.

\bigskip

\textbf{Partie A: faculté germinative}

\medskip

Ces lots contiennent 70\,\% de fétuque rouge et le reste de ray-grass. 

La faculté germinative est de : 89\,\%
pour la fétuque rouge et 93\,\% pour le ray-grass.

On considère les évènements suivants:

$\bullet~~$ $F$ : \og la graine est une graine de fétuque rouge\fg

$\bullet~~$ $G$ : \og la graine germe\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé sous forme d'un arbre de probabilités.
\item Calculer la probabilité qu'une graine de fétuque rouge germe.
\item Calculer la probabilité qu'une graine du mélange pour gazon germe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : pureté spécifique}

\medskip

Sur l'étiquette des lots, il est indiqué que 97\,\% des lots ne contiennent aucune graine de rumex (mauvaise
herbe de la même famille que l'oseille). La jardinerie fait une commande de $500$ lots de mélange pour
gazon.
On note $X$, la variable aléatoire égale aux nombres de lots de semences contenant du rumex.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la loi de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 500$ et $p = 0,03$.
\item  Dans une telle commande, en moyenne combien de lots contiendront du rumex ?
\item  Calculer la probabilité d'avoir plus de 10 lots avec du rumex dans la commande.

On pourra utiliser la calculatrice ou le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$ 				&8 		&9 		&10 	&11 	&12\\ \hline
$P(X \leqslant a)$ 	&0,035 	&0,067 	&0,115 	&0,181 	&0,264\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante en justifiant votre choix.

\smallskip

Dans une usine, une machine fabrique des tiges métalliques destinées à des pulvérisateurs. L'ingénieur
chargé du réglage affirme que les tiges fabriquées présentent un défaut dans 2\,\% des cas.

On s'intéresse à un échantillon de $300$ tiges prélevées au hasard dans le stock. On suppose que le stock
est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces tirages à des tirages au sort avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À $10^{-3}$ près, un intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence des tiges avec défaut sur l'échantillon est :
	\begin{enumerate}
		\item $[0,011~;~0,029 ]$
		\item $[0,004~;~0,036]$
		\item $[0~;~0,95]$
	\end{enumerate}
\item Un ouvrier trouve $8$ tiges défectueuses dans l'échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Au seuil de risque de 5\,\%, il peut remettre en cause l'hypothèse de l'ingénieur.
		\item Au seuil de risque de 5\,\%, il ne peut pas remettre en cause l'hypothèse de l'ingénieur.
		\item Il faut recommencer l'expérience.
	\end{enumerate}
\item Cette question est indépendante des deux premières.
On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\emph{Variables}:		& $U$,\: $N$\\
\emph{Initialisation}:	& Affecter à $U$ la valeur $120$\\
\emph{Traitement}:		&\\
						&Pour $N$ allant de 1 à 6\\
						&\qquad Affecter à $U$ la valeur $U \times 0,95$\\
						&Fin Pour\\
\emph{Sortie}:			&Afficher $U$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

À $10^{-2}$ près par défaut, la valeur affichée en sortie est égale à:
	\begin{enumerate}
		\item 92,85
		\item 114,30
		\item 88,21
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Dans le cadre d'un test sur la résistance d'une plante à la radioactivité, on observe l'évolution de la durée de floraison de plantes soumises à de la radioactivité par rapport à la durée habituelle de floraison sans
radioactivité.

On appelle Gain le nombre de jours gagnés ou perdus sur la durée de floraison habituelle. Lorsqu'il y a une diminution de la durée par rapport à la floraison habituelle, on note négativement ce gain. 

Par exemple, un Gain de $- 3$ veut dire que la plante soumise à la radioactivité a eu une floraison avec 3 jours de moins sur la
floraison habituelle.

On obtient les résultats suivants:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Gain 		&$-3$ 	&$-2,5$ &$-2$ 	&$-1,5$ &$-1$ 	&$-0,5$ &0 &0,5 	&1 	&1,5	& 2 	&2,5 	&3\\ \hline
Effectif 	&4 		&7 		&13 	&21 	&28 	&31 	&30 &23 &15 &10 	&6 		&3 		&2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien de plantes ont gagné deux jours de floraison ?
		\item Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart type $\sigma$ de cette série statistique arrondis à $10^{-2}$ près.
		\item Calculer le pourcentage des plantes dont le Gain est dans l'intervalle
		
$[\overline{x} - 2\sigma~;~\overline{x} + 2\sigma] = [-2,81~;~ 2,15]$.
 	\end{enumerate}
\item On note $Y$ le Gain en jours de la durée de floraison d'une plante choisie au hasard. 
	
	En admettant que l'on peut modéliser la loi de $Y$ par une loi normale d'espérance $-0,3$ et d'écart-type $1,2$, calculer  la probabilité que la durée de floraison de la plante augmente d'au moins deux jours.
	
On pourra utiliser la calculatrice ou le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$& $-3$ &$-2$ &$-1$ &0 &1 &2 &3\\ \hline
$P(Y\leqslant a)$& \np{0,0122} &\np{0,0783} &\np{0,2798} &\np{0,5987} &\np{0,8607} &\np{0,9724} &\np{0,9970}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}