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%Original Chlorophil
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Métropole--Antilles--Guyane--Réunion septembre 2013}}

\medskip

L'annexe A est à rendre avec la copie

Une feuille de papier millimétré est fournie aux candidats 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^{0,5x} - \dfrac{2}{x + 1}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- 1$. Interpréter graphiquement le résultat. 
		\item Déterminer la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$. 
\item Démontrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $]- 1~;~ + \infty[$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]- 1~;~ + \infty[$. 
\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe A (à rendre avec la copie). 
Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. 
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unités graphiques : 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées. 
\item Soit la fonction $F$ définie sur $]- 1~;~ + \infty[$ par 

\[F(x)= 2\text{e}^{0,5x} - 2 \ln (x + 1).\]

Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]- 1~;~ + \infty[$. 
\item On admet que sur l'intervalle [1~;~3], on a $f(x) \geqslant 0$.
 
Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. 

On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

La courbe $C$ donnée dans le \textbf{document 1} est la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-3~;~+ \infty[$.
 
On sait que le point A (0~;~1) appartient à la courbe $C$ et que la fonction $g$ admet un minimum en $x = 0$. Les droites d'équations respectives $x = - 3$ et $y = 4$ sont asymptotes à la courbe $C$.

\medskip
 
Le QCM est donné en annexe A.

\medskip
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est zéro.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip
 
Un magasin de matériel audiovisuel réalise des promotions sur un modèle de téléviseur et un modèle de lecteur DVD.
 
Une enquête statistique révèle que :
 
60\,\% des clients du magasin achètent ce modèle de téléviseur et parmi eux 70\,\% achètent aussi ce lecteur de DVD.
 
Parmi ceux qui n'achètent pas ce modèle de téléviseur, seulement 10\,\% achètent ce lecteur DVD.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un client se présente au magasin. On appelle :
 
$T$ l'évènement \og il achète le téléviseur en promotion \fg
 
$L$ l'évènement \og il achète le lecteur DVD en promotion \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre en indiquant les probabilités sur chaque branche. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le client achète les deux appareils \fg. 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement \og le client achète le lecteur DVD \fg est $0,46$. 
\item Sachant que le client a acheté le lecteur de DVD, quelle est la probabilité qu'il ait aussi acheté le téléviseur ? Le résultat sera arrondi à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
 
Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500~\euro{} et le lecteur DVD 200~\euro.
 
Lors des promotions, le magasin effectue une remise de 15\,\% pour l'achat d'un seul appareil et de 25\,\% pour l'achat des deux appareils.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la dépense engagée pour l'achat des deux appareils en promotion s'élève à 525~\euro.
 
Soit $X$ la variable aléatoire associée à la dépense éventuelle du client en tenant compte de cette promotion. 
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$ et compléter le tableau donné en \textbf{annexe A}. 
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT 1 \\ \vspace{1cm}
EXERCICE 2\\ 
Représentation graphique de la fonction}\: \boldmath $g$ \unboldmath 

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(15,19)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-1)(15,19)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-4,4)(15,4)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-3,-1)(-3,19)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.3,19)(-2,8)(-1.5,3)(-1.18,2.2)
%(0,1)(3,2)(6,2.85)(8,3.10)(10,3.28)(12,3.5)(15,3.8)
%\psplot{-2.8}{4}{7 3 x add div 4 3 div sub}

\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-2.2,19)(-1.8,2)(-1.7,3.5)(-1.18,2.2)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-1.18,2.2)(0,-0.7)(3.5,2.5)(3,2)
\psbezier[linecolor=blue,,linewidth=1.25pt](3,2)(5,2.65)(8,3.05)(8.5,3.1)
\psbezier[linecolor=blue,,linewidth=1.25pt](8.5,3.1)(12,3.5)(12,3.5)(15,3.6)
\uput[ul](0,4){4}\uput[dl](0,0){0}\uput[dl](1,0){1}\uput[ur](0,1){A}
\uput[dl](-3,0){$- 3$}
\uput[d](15,0){$x$}\uput[r](0,19){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-2,1)(2,1)
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
	
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 :}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$- 0,75$&$- 0,5$&0&0,5&1&2&3&4\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 2 :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
$+ \infty$&$- 3$&4
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $]- 3~;~ + \infty[$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
$g'(0) = 1$& 
$g'(1) = 0$& 
$g'(0) = 0$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Une équation de la tangente à $C$ au point A est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
$y = 1$& $y = x$ &$y = 0$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Sur $]- 3~;~ + \infty[$, l'équation $g(x) = x$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
n'a aucune solution,& a une seule solution $x = 0$,& a une seule solution dans l'intervalle $]1~;~2[$.
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 3 :}

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$0$&&& 525\\ \hline 
$P(X = x)$&&&& 0,42\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}