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%Original Chlorofil
%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--Réunion\hspace{0.5em}correction}}
\rfoot{\small{septembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant\decofourright\\Métropole--Antilles--Guyane--Réunion septembre 2013\hspace{0.5em}Correction}}

%\medskip

%L'annexe A est à rendre avec la copie\\
%Une feuille de papier millimétré est fournie aux candidats 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}
{\footnotesize
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par $f(x) = \text{e}^{0,5x} - \dfrac{2}{x + 1}$.
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 }
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- 1$.

$\displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=\lim_{x \to -1} \e^{0,5x}-\lim_{x\to -1}\dfrac{2}{x+1}=\e^{-0,5}-(+\infty)=-\infty$

La droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
 
		\item Déterminons la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
		
		$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty} \e^{0,5x}-\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x+1}=+\infty-0=+\infty$

	\end{enumerate} 
\item Calculons $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$. 

$f'(x)=\np{0.5}\e^{\np{0.5}x}-2\times \dfrac{-1}{(x+1)^2}=\np{0.5}\e^{\np{0.5}x}+ \dfrac{2}{(x+1)^2}$

\item  $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $]- 1~;~ + \infty[$ comme somme, produit et quotient de nombres positifs. 

\item 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $]- 1~;~ + \infty[$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.


Dressons le tableau de variation de $f$ sur $]- 1~;~ + \infty[$. 

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-1$}     \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4.5,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[ur](7.32,1.5){$+\infty$}
\psline{->}(1.7,0.55)(7.3,1.55)
\end{pspicture}
\end{center}
\item Le tableau de valeurs est complété dans celui donné en annexe A (à rendre avec la copie). 
 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal \Oij. %On prendra pour unités graphiques : 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées. 

\item Soit la fonction $F$ définie sur $]- 1~;~ + \infty[$ par $F(x)= 2\text{e}^{0,5x} - 2 \ln (x + 1).$

 Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ lorsque $F$ est dérivable sur $I$  et $F' =f$. Dérivons $F$.
 
 $F'(x)=2\times (\np{0.5}x \e^{\np{0.5}x})-2\times \dfrac{1}{x+1}=\e^{\np{0.5}x}-\dfrac{2}{x+1}=f(x)$.
 
La fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$.
\item  Sur l'intervalle [1~;~3],  $f(x) \geqslant 0$,  l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ est $\displaystyle  \int_{1}^{3}f(x)\mathrm{d}x.$

$\displaystyle  \int_{1}^{3}f(x)\mathrm{d}x=\Bigg[2\e^{0,5x} - 2 \ln (x + 1)\Bigg]_1^3=2\e^{0,5\times 3} - 2 \ln (3 + 1)-\left(2\e^{0,5} - 2 \ln (2)\right)
=2\e^{\np{1.5}}-4\ln 2 - 2\e^{0,5} + 2 \ln (2)$

$\mathcal{A} = 2\e^{1,5}- 2\e^{0,5} - 2 \ln (2) $ unités d'aire.

 L'unité d'aire vaut 2~cm$^2$. D'où $\mathcal{A}=4\left[\e^{1,5}- \e^{0,5} - \ln (2)\right]$ cm~$^2$.

L'aire du domaine plan délimité par  la courbe, l'axe des abscisses les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ vaut à $10^{-2}$ près  \np{8,56} cm~$^2$.
%On donnera la valeur exacte de  puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\medskip

 \begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,arrowscale=1.5,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.3,-10)(6,10)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.51,-10)(5.75,10.3)

\multido{\n=-1.5+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-10)(\n,10)}
 \multido{\n=-10+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.5,\n)(5.5,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=5000]{-0.813}{4.69}{ 2.71828 x 0.5 mul exp 2 x 1 add div sub}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red](-1,-10)(-1,10)

\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]{
\psline[linewidth=0.001pt](1,0)(1,0.648721)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.5pt,plotpoints=5000]{1}{3}{2.71828 0.5 x mul exp 2 x 1 add div sub}
\psline (3,3.981689)(3,0)
}
\uput[d] (4.9,9.5){$\mathcal{C}_f$}\rput(2.2,1.1){\Large \textcolor{red}{$\mathcal{A}$}}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%\vspace{0,5cm}
\newpage
\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
{\footnotesize
\medskip

La courbe $C$ donnée dans le \textbf{document 1} est la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-3~;~+ \infty[$.
 
On sait que le point A (0~;~1) appartient à la courbe $C$ et que la fonction $g$ admet un minimum en $x = 0$. Les droites d'équations respectives $x = - 3$ et $y = 4$ sont asymptotes à la courbe $C$.

\medskip
 
Le QCM est donné en annexe A.

\medskip
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est zéro.
 }
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}
{\footnotesize
\medskip
 
Un magasin de matériel audiovisuel réalise des promotions sur un modèle de téléviseur et un modèle de lecteur DVD.
 
Une enquête statistique révèle que :
 
60\,\% des clients du magasin achètent ce modèle de téléviseur et parmi eux 70\,\% achètent aussi ce lecteur de DVD.
 
Parmi ceux qui n'achètent pas ce modèle de téléviseur, seulement 10\,\% achètent ce lecteur DVD.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un client se présente au magasin. On appelle :
 
$T$ l'événement \og il achète le téléviseur en promotion \fg{};
 
$L$ l'événement \og il achète le lecteur DVD en promotion \fg.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduisons la situation à l'aide d'un arbre en indiquant les probabilités sur chaque branche. 
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm, labelsep=0.01pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$}\taput{\np{0.6}}}
	{\TR{$L$}\taput{\np{0.7}}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{\np{0.3}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$}\tbput{\np{0.4}}}
	{\TR{$L$}\taput{\np{0.1}}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{\np{0.9}}
	}
}
\end{center}
\item La probabilité de l'événement \og le client achète les deux appareils \fg{} est notée $p(T\cap L)$. 

$p(T \cap L)=p(T)\times p_{t}(L)=\np{0.6}\times \np{0.7}=\np{0.42}$.
\item Démontrons que la probabilité de l'événement \og le client achète le lecteur DVD \fg est $0,46$. 

$p(L)=p(T)\times P_{T}(L)+p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(L)=\np{0.42}+\np{0.4}\times \np{0.1}=\np{0.42}+\np{0.04}=\np{0.46}$.

La probabilité que le client achète le lecteur DVD est bien celle attendue.

\item Sachant que le client a acheté le lecteur de DVD,  la probabilité qu'il ait aussi acheté le téléviseur est notée $p_{L}(T)$. 

$p_{L}(T)=\dfrac{p(T\cap L)}{p(L)}=\dfrac{\np{0.42}}{\np{0.42}}\approx\np{0.9130}$.

À $10^{-4}$ près la probabilité que le client ait acheté un téléviseur, sachant qu'il a acheté un lecteur de DVD est \np{0.9130}.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip 
 {\footnotesize
Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500~\euro{} et le lecteur DVD 200~\euro.
 
Lors des promotions, le magasin effectue une remise de 15\,\% pour l'achat d'un seul appareil et de 25\,\% pour l'achat des deux appareils.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La dépense engagée pour l'achat des deux appareils en promotion s'élève à 525~\euro. En effet sans réduction, il aurait payé 700 \euro{}. Bénéficiant d'une réduction de 25\,\%, le prix est par conséquent multiplié par \np{0.75},or $700\times \np{0.75}=525.$
 \end{enumerate}
Soit $X$ la variable aléatoire associée à la dépense éventuelle du client en tenant compte de cette promotion. 
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminons les autres valeurs que peut prendre la variable aléatoire $X$ ainsi que leur probabilité. 

La probabilité que le client n'ait acheté ni  téléviseur ni  lecteur de DVD est :

 $p(\overline{T} \cap \overline{L})=\np{0.4}\times \np{0.9}=\np{0.36}$.

La dépense engagée pour l'achat :
\begin{itemize}
\item d'un lecteur de DVD est 170\euro{} ; $200\times \np{0.85}= 170$. 

La probabilité de n'acheter que le lecteur DVD est $p(\overline{T} \cap L)=\np{0.4}\times \np{0.1}=\np{0.04}$
\item  d'un téléviseur est  425\euro{}; $500 \times \np{0.85} = 425$. 

La probabilité de n'acheter que le téléviseur est 

$p( T\cap \overline{L})=\np{0.6}\times \np{0.3}=\np{0.18}$
\end{itemize}

Complétons le tableau donné en \textbf{annexe A}. 
\item Calculons l'espérance mathématique de $X$. 
 
$E(X)=0\times \np{0.36}+ 170\times \np{0.04}+425\times \np{0.18}+525\times \np{0.42}=\np{303.8}$.
\end{enumerate}
\medskip
%\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT 1 \\ \vspace{1cm}
EXERCICE 2\\ 
Représentation graphique de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath 

\vspace{0.5cm}
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(15,19)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=4]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-1)(15,19)
\psline[linewidth=1.5pt](-4,4)(15,4)
\psline[linewidth=1.5pt](-3,-1)(-3,19)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.3,19)(-2,8)(-1.5,3)(-1,1.8)(0,1)(0.1,1.02)(1,1.15)(3,2)(6,2.85)(8,3.10)(10,3.28)(12,3.5)(15,3.8)
\uput[ul](0,4){4}\uput[dl](0,0){0}\uput[dl](1,0){1}\uput[ur](0,1){A}
\uput[dl](-3,0){$- 3$}
\uput[d](15,0){$x$}\uput[r](0,19){$y$}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-2,1)(2,1)
\end{pspicture}
}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
	
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 :}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$- 0,75$&$- 0,5$&0&0,5&1&2&3&4\\ \hline
$f(x)$&$-\np{7.31}$&$-\np{3.22}$&$-1$&$-\np{0.05}$&$\np{0.65}$&$\np{2.05}$&$\np{3.98}$&$\np{6.98}$\\ \hline
\end{tabularx}
{\footnotesize \emph{Les résultats sont arrondis à $10^{-2}$ près.}}
\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 2 :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
$+ \infty$&$- 3$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}4
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $]- 3~;~ + \infty[$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
$g'(0) = 1$& 
$g'(1) = 0$& 
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$g'(0) = 0$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Une équation de la tangente à $C$ au point A est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$y = 1$& $y = x$ &$y = 0$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Sur $]- 3~;~ + \infty[$, l'équation $g(x) = x$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
n'a aucune solution,& a une seule solution $x = 0$,& \hspace{-4.6mm}\ding{52} a une seule solution dans l'intervalle $]1~;~2[$.
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 3 :}

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$0$&170&440& 525\\ \hline 
$P(X = x)$&\np{0.36}&\np{0.04}&\np{0.18}& 0,42\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}