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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{correction \hspace{3mm}Métropole--Antilles--Guyane--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Métropole septembre 2009} \hspace{3mm} Correction}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une ferme du Cotentin, on commercialise trois types de lait sous forme de briques de 1~litre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\blacklozenge$] 15\,\% des briques contiennent du lait entier.
\item[$\blacklozenge$] 60\,\% des briques contiennent du lait 1/2 écrémé.
\item[$\blacklozenge$] 25\,\% des briques contiennent du lait écrémé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le lait peut être vitaminé ou non vitaminé :


\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\blacklozenge$] $\dfrac{1}{3}$ des briques de lait entier sont de qualité vitaminée.
\item[$\blacklozenge$] $\dfrac{5}{12}$ des briques de lait 1/2 écrémé sont de qualité vitaminée.
\item[$\blacklozenge$] $\dfrac{1}{5}$ des briques de lait écrémé sont de qualité vitaminée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit une brique au hasard. On considère les événements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A \og La brique contient du lait entier \fg{} ;
\item[] B \og La brique contient du lait 1/2 écrémé \fg{} ;
\item[] C \og La brique contient du lait écrémé \fg{} ;
\item[] V \og La brique contient du lait vitaminé \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construisons l'arbre de probabilités décrivant la situation.
\medskip

\begin{center}
\psset{treesep=0.5,nodesep=1.5pt, labelsep=0.1mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{0,15}}
	  { 
		  \TR{V}\taput{$\frac{1}{3}$}
		  \TR{$\overline{\text{V}}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{B}\tbput{0,60}}
	  {
		  \TR{V}\taput{$\frac{5}{12}$}
		  \TR{$\overline{\text{V}}$}\tbput{$\frac{7}{12}$} 
	  }
	\pstree{\TR{C}\tbput{0,25}}
	  {
		  \TR{V}\taput{$\frac{1}{5}$}
		   \TR{$\overline{\text{V}}$}\tbput{$\frac{4}{5}$}
	  }	
}
\end{center}

\item  Calculons la probabilité des événements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  \og La brique contient du lait écrémé et vitaminé \fg{}.
 \[P(C \cap V) = P(C)\times P_{C}(V)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}.\] 
		\item  \og La brique contient du lait vitaminé \fg{}.
		 \begin{align*}	
		P(V)&=P(A \cap V)+ P(B \cap V)+ P(C \cap V)\\		
P(V)&= \frac{3}{20}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{5}\times \frac{5}{12}+ \frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\\
P(V)&=\frac{1}{20}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\\
P(V)&=\frac{7}{20}
\end{align*}
	\end{enumerate}
\item  Calculons la probabilité, arrondie ‡ $10^{-4}$ près, que le lait soit écrémé sachant qu'il est vitaminé.
\[P_{V}(C)=\dfrac{P(C \cap V)}{P(V)}=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{23}{20}}=\frac{5}{69}\approx \np{0.0725}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur un lot de $20$~briques de lait, 5 contiennent du lait écrémé.
On choisit au hasard et simultanément 3 briques de ce lot.
L'univers est l'ensemble des prélèvements possibles et la loi sur cet univers est l'équiprobabilité. 
\begin{enumerate}
\item  Calculons le nombre total de choix possibles.

 Nous choisissons 3 briques parmi les 20 briques de lait. Nous avons donc $\binom{20}{3}=\np{1140}$ choix possibles.

{\emph {\small Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.}}

\item  Soit X la variable aléatoire égale au nombre de briques de lait écrémé parmi les 3 choisies.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons la probabilité de n'avoir aucune brique de lait écrémé.

  Nous choisissons 3 briques parmi les 15 qui ne contiennent pas du lait écrémé.

 Nous avons donc $\binom{15}{3}=455$ choix possibles.
		
		$p(X=0)=\dfrac{455}{\np{1140}}=\dfrac{91}{228}$
		
		\item  Calculons la probabilité d'avoir exactement une brique de lait écrémé.
		
 Nous choisissons 2 briques parmi celles qui ne contiennent pas du lait écrémé et une brique parmi les 5 qui contiennent du lait écrémé.
		
		Nous avons $\binom{15}{2}\times \binom{5}{1}=525$ choix possibles. 

Par conséquent $P(X=1)=\dfrac{525}{\np{1140}}=\dfrac{35}{76}$
		
 	\end{enumerate}
\item  La loi de probabilité de X  est complété dans le tableau donné en annexe.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ donnée \textbf{dans le document} est celle d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$.

La droite (T) est tangente ‡ la courbe $(\mathcal{C})$ au point A d'abscisse 1.

L'axe des ordonnées est asymptote ‡ la courbe $(\mathcal{C})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminons par lecture graphique:
	\begin{enumerate}
		\item 
		
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $f(1)=-1$  c'est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1 ; 
\item [$\bullet$] $f'(1)=2$. C'est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 ‡ la courbe.

Cette droite passe par les points $(0~;~-3)$  et $(1~;~-1)$ d'où $m=\dfrac{-1-(-3)}{1-0}=2$
\end{itemize}
		\item  La limite de $f$ en $0$. $\displaystyle \lim_{\stackrel{x\to 0}{x>0}}f(x)=-\infty$ car l'axe des ordonnées est asymptote ‡ la courbe.
		\item  Le signe de $f(x)$ sur $[2~;~+ \infty[$.

 Sur cet intervalle, la courbe est située dans le premier quadrant et coupe l'axe des abscisses en un point n'appartenant pas ‡ cet intervalle.

 Il en résulte  $f(x)>0$ pour $x \in [2~;~+\infty[$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que f est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$. $f^\prime (x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x+1}{x^2}$.
		\item  Calculons alors $f(1)$ et $f^\prime (1$). $f(1)=\ln(1)-\frac{1}{1}=-1,\qquad f^\prime(1)=\dfrac{1+1}{1^2}=2$. Ce sont bien  les résultats de la question 1) a).
		\item  Pour tout $x \in ]0~;~+\infty[, \  f'(x)>0 $  comme quotient de deux nombres réels strictement positifs.
		
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$f^\prime(x)>0$ pour  $x \in ]0~;~+\infty[$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Dressons le tableau de variations de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}      \uput[u](7.75,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](4.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.2,1.95){$+\infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrons que la fonction $F$ définie par $F(x) = (x - 1)\ln x - x$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. Pour ce faire, montrons que la fonction $F$ a pour fonction dérivée la fonction $f$.
	\[F^\prime(x)=1 \times \ln(x)+(x-1)\times \left( \dfrac{1}{x}\right)-1=\ln(x)+\dfrac{x-1}{x}-1=\ln(x)-\dfrac{1}{x}=f(x)\]
		\item Calculons la valeur exacte de l'intégrale I. 
		
I$= \displaystyle\int_{\text{e}}^5 f(x)\:\text{d}x=F(5)-F(\text{e})=(5-1)\ln(5)-5-\left((\text{e}-1)-\text{e}\right)=4\ln 5-4$.
		\item L'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \text{e}$ et $x = 5$ est  $\displaystyle\int_{\text{e}}^5 f(x)\:\text{d}x$ car sur cet intervalle $f(x) >0$. La valeur arrondie ‡ $10^{-2}$ près de $(\mathcal{A})$ est 2,44 unités d'aire.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 VRAI--FAUX \hfill 4 points}

\medskip

$g$ est la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = 2x\text{e}^{-x}.\]

Pour chacune des propositions suivantes, indiquons en justifiant si elle est \textsc{VRAIE} ou \textsc{FAUSSE}. 

{\scriptsize{\emph{Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point.}}}

\medskip

Proposition 1 : $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.\hfill{\textbf{Vraie}}

Sur cet intervalle $2x>0$ et pour tout $x \in \R,\ \text{e}^{-x}>0$. Le produit de deux réels positifs étant positif, l'affirmation est vraie.

\medskip

Proposition 2 : La courbe représentative de la fonction $g$ passe par le point de coordonnées $\left(-1~;~\dfrac{2}{\text{e}}\right)$.\hfill{\textbf{Fausse}}
Calculons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-1$. $g(-1)=2\times (-1)\text{e}^{-(-1)}=-2\text{e}$. $g(-1)\not= \dfrac{2}{\text{e}}$ Le point n'appartient pas ‡ la courbe représentative de $g$.

\medskip

Proposition 3 : $g(\ln 2) = \ln 2$. \hfill{\textbf{Vraie}}
\[g(\ln(2)=2\ln(2) \text{e}^{-\ln(2)}= 2\ln(2)\times \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}}= \ln 2.\]
\medskip

Proposition 4 : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}g(x)= - \infty$.\hfill{\textbf{Vraie}}
\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty}g(x)=\lim_{x \to -\infty}2x\times \lim_{x \to -\infty}\text{e}^{-x}= -\infty \times +\infty=-\infty\]
\vspace{1cm}

\dotfill

\begin{center}
\textbf{ANNEXE :}% \`a compl\'eter et \`a rendre avec la copie}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$						&0	&1	&2	&3  \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$P\left(X = x_{i}\right)$	&$\dfrac{91}{228}$	&$\dfrac{35}{76}$	&$\dfrac{5}{38}$	&$\dfrac{1}{114}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}

\begin{pspicture}(-1,-13)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-13)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=1](-1,-13)(7,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.1}{6}{x ln 1 x div sub}
\psplot{-0.5}{3}{2 x mul 3 sub}
\uput[u](5.5,1.5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](2.5,2){(T)}\uput[dl](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray,hatchcolor=blue]{%
\psline(2.71828,0)(2.71828,0.63212)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{2.7182}{5}{x ln 1 x div sub}
\psline(5,1.409438)(5,0)
}%
\rput(4,0.5){\Large\textcolor{red}{$\mathcal{A}$}}
\psdot[dotstyle=BoldMul,dotscale=2](1,-1)\uput[dr](1,-1){A}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}