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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A.P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole session 2007}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

Dans un lycée, $200$~élèves de classes terminales passent tous un baccalauréat : général ou bien technologique.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

On a les informations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 20 élèves du lycée passent le baccalauréat général ;
\item  25\,\% des élèves passant le baccalauréat général n'y ont pas obtenu la moyenne ;
\item  60\,\% des élèves passant le baccalauréat technologique y ont obtenu la moyenne.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Soit G l'évènement \og l'élève passe le baccalauréat général \fg{} ;

T l'évènement \og l'élève passe le baccalauréat technologique \fg{} ;

M l'évènement \og l'élève a obtenu la moyenne au baccalauréat \fg.

L'épreuve consiste à tirer au hasard une fiche dans le fichier des $200$~élèves.

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $p$(G) ;
		\item  Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les probabilités sur chaque branche.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les probabilités $p(\text{M} \cap \text{T}),~p(\text{M} \cap \text{G})$.
		\item  En déduire $p$(M).
 	\end{enumerate}
\item Calculer, à $10^{-2}$~près, la probabilité qu'un élève ayant obtenu la moyenne au baccalauréat soit issu d'un baccalauréat général.
 \end{enumerate}
 
\medskip 
 
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
 
\emph{Dans cette partie, les résultats numériques seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la moyenne obtenue par les candidats du baccalauréat général. La loi de
$X$ est la loi normale de moyenne $11$ et d'écart - type $4$.

\emph{Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la loi normale centrée réduite.}

\medskip

Quelles sont les probabilités qu'un candidat ait obtenu une note :
  
\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}]  inférieure à 12 ? 
\item[\textbf{b.}]  supérieure à 15 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document représente, dans un repère orthogonal, une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle I $ = \left[- \dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

\begin{enumerate}
\item  Par \emph{lecture graphique}, répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée :
	\begin{enumerate}
		\item  Donner $g(0)$ et $g'(0)$.
		\item  Donner une équation de la droite $(T')$
		\item  Résoudre dans I l'équation : $g'(x) = - 1$.
 	\end{enumerate}
\item  \emph{Étude théorique}
	
On admet que la fonction $g$ est définie sur I par : $g(x) = - x + 3\cos x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item Résoudre par le calcul dans I l'équation : $g'(x) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $]3~;~6]$ par : 

\[f(x) = x - 2 + \ln (x - 3)\]

 et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $3$. Interpréter graphiquement cette limite.
\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $]3~;~6]$. En déduire que pour tout $x$ de $]3~;~6]$,
$f'( x) > 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]3~;~6]$. On y indiquera la valeur de $f(6)$.
		\item  Calculer $f(4)$. En déduire le signe de $f$ sur [4~;~6].
 	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]3~;~6]$ par 

\[F(x)  = (x - 3) \ln (x - 3) + \dfrac{x^2}{2} - 3x.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur ]3~;~6].
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de J $ = \displaystyle\int_{4}^6  f(t)\:\text{d}t$.
		\item  En utilisant le 3. b., donner une interprétation graphique de J dans le repère \Oij.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2 \\ Courbe } $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$
\end{center}

\begin{itemize}
\item La droite (T) est tangente \`a $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ au point d'abscisse $0$.
\item La droite $\left(\text{T}'\right)$ est tangente \`a $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ aux points A et B d'abscisse respectives $\pi$ et $- \pi$.
\end{itemize}

\bigskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5.75,-7)(5,5.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.75,-7)(5,5.25)
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\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-7)(5,5)
\psline(-5,2)(3.75,-6.75)
\psline(-2.25,5.25)(5.75,-2.75)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-4.71239}{4.71239}{3*cos(x) - x}
\uput[dl](3.14,-6.25){A}\uput[ur](-3,0){B}
\uput[u](-1.5,4.4){(T)} \uput[d](-1.5,-1.75){(T$'$)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](-4.2,3){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ }
\uput[d](3.14125,0){$\pi$} \uput[d](-3.14125,0){$-\pi$} \uput[d](4.71239,0){$\dfrac{3\pi}{2}$} \uput[d](-4.71239,0){$-\dfrac{3\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dashed](4.71239,0)(4.71239,-4.71239)
\psline[linestyle=dashed](-4.71239,0)(-4.71239,4.71239)
\psline[linestyle=dashed](3.14159,0)(3.14159,-6.14159) 
\end{pspicture}





\end{center}
\end{document}